Tìm n biết n > 4; n ∈ N và thỏa mãn đẳng thức sau: 2 + + + + ... + + = .

Câu hỏi số 5969:

Tìm n biết n > 4; n ∈ N và thỏa mãn đẳng thức sau: 2 $C_{2n}^{0}$ + $\frac{2}{3}C_{2n}^{2}$ + $\frac{2}{5}C_{2n}^{4}$ + $\frac{2}{7}C_{2n}^{6}$ + ... + $\frac{2}{2n-1}C_{2n}^{2n-1}$ + $\frac{2}{2n+1}C_{2n}^{2n}$ = $\frac{8192}{13}$ .

A. x = 4

B. x = 5

C. x = 8

D. x = 6

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5969

Giải chi tiết

Xét A = $\int_{0}^{1}$ (1 - x)²ⁿ . dx ; B = $\int_{0}^{1}$ (1 + x)²ⁿ . dx

(1 - x)²ⁿ = $C_{2n}^{0}$ + $C_{2n}^{1}$ + $C_{2n}^{2}$ x² + …+ $C_{2n}^{2n}$ x²ⁿ ;

(1 + x)²ⁿ = $C_{2n}^{0}$ - $C_{2n}^{1}$ + $C_{2n}^{2}$ x² - ... - $C_{2n}^{2n-1}$ x^2n-1 + $C_{2n}^{2n}$ .

Ta có A + B = $\int_{0}^{1}$ (1 - x)²ⁿ . dx + $\int_{0}^{1}$ (1 + x)²ⁿ . dx (1)

= - $\int_{0}^{1}$ (1 - x)²ⁿ . d(1 - x) + $\int_{0}^{1}$ (1 + x)²ⁿ . d(1 + x) = $\frac{2^{2n+1}}{2n+1}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{2^{2n+1}}{2n+1}$ = $\frac{8192}{13}$ => n = 6

Ta chứng minh n = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình nên:

Thật vậy xét hàm số: f(x) = $\frac{2^{2n+1}}{2n+1}$ , x ≠ $\frac{1}{2}$ .

=> f(x) = $\frac{2^{2x+1}ln2.2(2x+1)-2.2^{2n+1}}{(2x+1)^{2}}$

= $\frac{2.2^{2x+1}(ln2.(2x+1)-1)}{(2x+1)^{2}}$ > 0, ∀ x ≠ $\frac{1}{2}$ .

Vậy f(x) luôn luôn đồng biến.

Từ đó phương trình có nghiệm duy nhất là x = 6.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.