Chứng minh rằng với mọi x , y ta luôn có: ≤ ex + ey.

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Phương trình, Bất PT và hệ PT đại số

Câu hỏi số 5971:

Chứng minh rằng với mọi x , y ta luôn có: $e^{\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y}$ ≤ $\frac{2}{3}$ e^x + $\frac{1}{3}$ e^y.

A. Dấu bằng xảy ra khi t = 0 cũng có nghĩa là khi x = y

B. Dấu bằng xảy ra khi t = 0 cũng có nghĩa là khi x = -y

C. Dấu bằng xảy ra khi t < 0 cũng có nghĩa là khi x = y

D. Dấu bằng xảy ra khi t > 0 cũng có nghĩa là khi x = y

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5971

Giải chi tiết

Bất đẳng thức tương đương với:

$e^{\frac{2}{3}(x-y)}$ ≤ $\frac{2}{3}$ e^{(x – y)} + $\frac{1}{3}$ ⇔ $e^{\frac{2}{3}(x-y)}$ - $\frac{2}{3}$ e^{(x – y)} - $\frac{1}{3}$ ≤ 0 (1)

Xét hàm số: f(t) = $e^{\frac{2t}{3}}$ - $\frac{2}{3}$ e^t - $\frac{1}{3}$ . Ta có: f'(t) = $\frac{2}{3}$ $e^{\frac{2t}{3}}$ - $\frac{2}{3}$ e^t ⇒ f'(t) = 0

⇔ $\frac{2}{3}$ $e^{\frac{2t}{3}}$ - $\frac{2}{3}$ e^t = 0 ⇔ t = 0 ⇒ f'(t) < 0 ⇔ $e^{\frac{2t}{3}}$ < $e^{\frac{t}{3}}$ ⇔ $\frac{2t}{3}$ < $\frac{t}{3}$ ⇔ t > 0

Tương tự: f'(t) > 0 ⇔ t < 0

⇒ f(t) = $e^{\frac{2t}{3}}$ - $\frac{2}{3}$ e^t - $\frac{1}{3}$ ≤ f(0) = 0, ∀t ⇒ $e^{\frac{2(x-y)}{3}}$ - $\frac{2}{3}$ e^{(x – y) - ≤ 0 ∀x , y}

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi t = 0 cũng có nghĩa là khi x = y

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.