Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng \(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{6}\) và mặt bên tạo với mặt

Câu hỏi số 602079:

Vận dụng

Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng \(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{6}\) và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp đã cho.

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {42} }}{9}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:602079

Phương pháp giải

Cho hai mặt phẳng (?) và (?) cắt nhau, ta xác định góc giữa (?) và (?) như sau:

- Tìm giao tuyến Δ của hai mặt phẳng (?) và (?).

- Tìm trong mỗi mặt phẳng (?), (?) một đường thẳng ?,? cùng cùng vuông góc với Δ và cùng cắt Δ tại điểm .

- Xác định góc giữa ? và ?.

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SM;AM} \right) = \widehat {SMA} = {60^0}\).

Giả sử độ dài cạnh đáy bằng \(x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM = \dfrac{1}{3}.AM = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{x\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{6}\\CM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{x}{2}\end{array} \right.\).

Tam giác SCM vuông tại M

\( \Rightarrow SM = \sqrt {S{C^2} - C{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt {42} }}{6}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\dfrac{{7{a^2}}}{6} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \).

Tam giác SOM vuông tại O

\(\begin{array}{l} \Rightarrow OM = SM.\cos M \Rightarrow \dfrac{{x\sqrt 3 }}{6} = \sqrt {\dfrac{{7{a^2}}}{6} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} .\cos {60^0} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{12}} = \left( {\dfrac{{7{a^2}}}{6} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right).\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{12}} = \dfrac{{7{a^2}}}{{24}} - \dfrac{{{x^2}}}{{16}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{7{x^2}}}{{48}} = \dfrac{{7{a^2}}}{{24}} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 .\end{array}\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) và \(SO = OM\tan M = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{6}.\tan {60^0} = \dfrac{x}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.