Cho hàm số f(x) có f(0) = 0 và \(f'\left( x \right) = {\sin ^4}x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân

Câu hỏi số 602376:

Vận dụng

Cho hàm số f(x) có f(0) = 0 và \(f'\left( x \right) = {\sin ^4}x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(\dfrac{{{\pi ^2} - 6}}{{18}}\).

B. \(\dfrac{{{\pi ^2} - 3}}{{32}}\).

C. \(\dfrac{{3{\pi ^2} - 16}}{{64}}\).

D. \(\dfrac{{{\pi ^2} - 6}}{{112}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:602376

Giải chi tiết

Tính nguyên hàm \(\int {{{\sin }^4}xdx} = \int {{{\left( {{{\sin }^2}x} \right)}^2}dx} \).

\(\begin{array}{l} = \int {{{\left[ {\dfrac{1}{2}\left( {1 - \cos 2x} \right)} \right]}^2}dx} = \int {\dfrac{1}{4}\left( {1 - 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)dx} \\ = \int {\dfrac{1}{4}\left( {1 - 2\cos 2x + \dfrac{1}{2}\left( {1 + \cos 4x} \right)} \right)dx} \\ = \int {\left( {\dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{8}\cos 4x} \right)dx} \\ = \dfrac{3}{8}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + \dfrac{1}{{32}}\sin 4x + C\end{array}\)

*) \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow 0 + 0 + 0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{3}{8}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + \dfrac{1}{{32}}\sin 4x\).

Vậy \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\dfrac{3}{8}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + \dfrac{1}{{32}}\sin 4x} \right)dx} = \dfrac{{3{\pi ^2} - 16}}{{64}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.