Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [2;4] và \(f'\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in

Câu hỏi số 602384:

Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [2;4] và \(f'\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left[ {2;4} \right]\). Biết rằng \(f\left( 2 \right) = \dfrac{7}{4}\) và \(4{x^3}f\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^3} - {x^3}\), \(\forall x \in \left[ {2;4} \right]\). Giá trị của f(4) bằng:

A. \(\dfrac{{20\sqrt 5 - 1}}{4}\).

B. \(\dfrac{{40\sqrt 5 - 1}}{2}\).

C. \(\dfrac{{20\sqrt 5 - 1}}{2}\).

D. \(\dfrac{{40\sqrt 5 - 1}}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:602384

Giải chi tiết

Xét phương trình \(4{x^3}f\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^3} - {x^3}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^3}f\left( x \right) + {x^3} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^3}\\ \Leftrightarrow {x^3}\left( {4f\left( x \right) + 1} \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^3}\\ \Leftrightarrow x\sqrt[3]{{4f\left( x \right) + 1}} = f'\left( x \right)\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{4f\left( x \right) + 1}}}}\\ \Leftrightarrow \int\limits_2^4 {xdx} = \int\limits_2^4 {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{4f\left( x \right) + 1}}}}dx} \end{array}\)

Tính \(I = \int\limits_2^4 {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{4f\left( x \right) + 1}}}}dx} \).

Đặt \(\sqrt[3]{{4f\left( x \right) + 1}} = t \Rightarrow 4f\left( x \right) + 1 = {t^3} \Leftrightarrow 4f'\left( x \right)dx = 3{t^2}dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow t = \sqrt[3]{{4f\left( 2 \right) + 1}}\\x = 4 \Rightarrow t = \sqrt[3]{{4f\left( 4 \right) + 1}}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_{\sqrt[3]{{4f\left( 2 \right) + 1}}}^{\sqrt[3]{{4f\left( 4 \right) + 1}}} {\dfrac{3}{4}tdt} = \left. {\dfrac{{3{t^2}}}{8}} \right|_{\sqrt[3]{{4f\left( 2 \right) + 1}}}^{\sqrt[3]{{4f\left( 4 \right) + 1}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{3}{8}\left[ {\sqrt[3]{{{{\left[ {4f\left( 4 \right) + 1} \right]}^2}}} - \sqrt[3]{{{{\left[ {4f\left( 2 \right) + 1} \right]}^2}}}} \right]\\ \Leftrightarrow 6 = \dfrac{3}{8}\left[ {\sqrt[3]{{{{\left[ {4f\left( 4 \right) + 1} \right]}^2}}} - 4} \right]\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{{\left[ {4f\left( 4 \right) + 1} \right]}^2}}} = 20\\ \Leftrightarrow f\left( 4 \right) = \dfrac{{40\sqrt 5 - 1}}{4}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.