Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) =

Câu hỏi số 602385:

Vận dụng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = x\left[ {\sin x + f'\left( x \right)} \right] + \cos x\) và \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{2}\). Giá trị của \(f\left( \pi \right)\) bằng:

A. \(1 + \pi \).

B. \( - 1 + \pi \).

C. \(1 + \dfrac{\pi }{2}\).

D. \( - 1 + \dfrac{\pi }{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:602385

Giải chi tiết

Xét phương trình \(f\left( x \right) = x\left[ {\sin x + f'\left( x \right)} \right] + \cos x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( x \right) - xf'\left( x \right) = x\sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right) - xf'\left( x \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{x\sin x + \cos x}}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow - \left[ {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right]' = \dfrac{{x\sin x + \cos x}}{{{x^2}}}\end{array}\)

Nguyên hàm: \( - \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = \int {\dfrac{{x\sin x + \cos x}}{{{x^2}}}dx} \).

Tính \(\int {\dfrac{{x\sin x + \cos x}}{{{x^2}}}dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x\sin x + \cos x = u \Rightarrow x\cos xdx = du\\\dfrac{1}{{{x^2}}}dx = dv \Rightarrow - \dfrac{1}{x} = v\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow VP = \dfrac{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}}{{ - x}} + \int {\cos xdx} \\ \Leftrightarrow VP = \dfrac{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}}{{ - x}} + \sin x + C\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = \dfrac{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}}{{ - x}} + \sin x + C\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = x\sin x + \cos x - x\sin x + Cx\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \cos x + Cx\\*)\,\,f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{2}C = \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow C = 1.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \cos x + x\end{array}\)

Vậy \(f\left( \pi \right) = - 1 + \pi \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.