Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x

Câu hỏi số 602383:

Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{2}\), \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right),\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2019} \right) = \dfrac{a}{b} - 1\) với \(a \in \mathbb{Z}\), \(b \in \mathbb{N}\), (a,b) = 1. Khẳng định nào sau đây sai?

A. a – b = 2019.

B. ab > 2019.

C. 2a + b = 2022.

D. b \( \le 2020\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:602383

Giải chi tiết

Xét phương trình \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right),\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 1\\ \Leftrightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \end{array}\)

Tính \(VP = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} = {x^2} + x + {C_1}\).

Tính \(VT = \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx} \).

Đặt \(f\left( x \right) = t \Rightarrow f'\left( x \right)dx = dt\).

\( \Rightarrow \) Thay: \(\int {\dfrac{1}{{{t^2}}}dt} = - \dfrac{1}{t} + C = - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} + {C_2}\).

\(\begin{array}{l}*)\,\,VT = VP \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{f\left( x \right)}} + {C_2} = {x^2} + x + {C_1}\\ \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + x + C\\ \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2} + x + C}}\\*)\,\,f\left( 1 \right) = \dfrac{{ - 1}}{{1 + 1 + C}} = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow C = 0\\ \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2} + x}}\end{array}\)

Sử dụng máy tính: \(\sum\limits_{x = 1}^{2019} {f\left( x \right)} = - \dfrac{{2019}}{{2020}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{a}{b} - 1 = \dfrac{{ - 2019}}{{2020}} \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{{2020}}\\ \Rightarrow a = 1,\,\,b = 2020\\ \Rightarrow a - b = - 2019 \ne 2019.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.