Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {2z + i} \right| = \left| {z + 2i} \right|\). Giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 602670:

Vận dụng cao

Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {2z + i} \right| = \left| {z + 2i} \right|\). Giá trị lớn nhất của \(\left| {2z - 1} \right|\) bằng

A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 1.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:602670

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hình học.

Giải chi tiết

Đặt \(w = 2z - 1 \Rightarrow z = \dfrac{{w + 1}}{2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {2z + i} \right| = \left| {z + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {2.\dfrac{{w + 1}}{2} + i} \right| = \left| {\dfrac{{w + 1}}{2} + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow 2\left| {w + 1 + i} \right| = \left| {w + 1 + 4i} \right| \Leftrightarrow \left| {2w + 2 + 2i} \right| = \left| {w + 1 + 4i} \right|\end{array}\)

Đặt \(w = x + yi\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {2\left( {x + yi} \right) + 2 + 2i} \right| = \left| {\left( {x + yi} \right) + 1 + 4i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2x + 2 + \left( {2y + 2} \right)i} \right| = \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y + 4} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + 2} \right)^2} + {\left( {2y + 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 8x + 4 + 4{y^2} + 8y + 4 = {x^2} + 2x + 1 + {y^2} + 8y + 16\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 6x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array}\)

=> Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(-1;0), bán kính R = 2.

Gọi M là điểm biểu diễn số phức w. Ta có |w| = OM.

Vậy giá trị lớn nhất của \(\left| {2z - 1} \right|\) bằng 3.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.