Cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = - 1 + 2t\end{array} \right.\) và

Câu hỏi số 603096:

Vận dụng

Cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = - 1 + 2t\end{array} \right.\) và điểm A(2;1). Hai điểm M, N nằm trên \(\Delta \).

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho \(AM = \sqrt {17} \).

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho đoạn thẳng AN ngắn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:603096

Phương pháp giải

a) Tham số hóa tọa độ điểm \(M \in \Delta \) theo tham số t.

Tính \(AM = \sqrt {{{\left( {{x_M} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - {y_A}} \right)}^2}} \), giải phương trình tìm t và suy ra tọa độ điểm M.

b) AN ngắn nhất khi \(AN \bot \Delta \).

Tham số hóa tọa độ điểm \(N \in \Delta \) theo tham số k.

\(AN \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {AN} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \Rightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\).

Giải phương trình tìm k và suy ra tọa độ điểm N.

Giải chi tiết

a) Vì \(M \in \Delta \) nên gọi \(M\left( {4 + t; - 1 + 2t} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}AM = \sqrt {{{\left( {2 + t} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 2t} \right)}^2}} = \sqrt {17} \\ \Leftrightarrow {\left( {2 + t} \right)^2} + {\left( { - 2 + 2t} \right)^2} = 17\\ \Leftrightarrow 4 + 4t + {t^2} + 4 - 8t + 4{t^2} = 17\\ \Leftrightarrow 5{t^2} - 4t - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = \dfrac{9}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

Với t = -1 => M(3;-3).

Với \(t = \dfrac{9}{5} \Rightarrow M\left( {\dfrac{{29}}{5};\dfrac{{13}}{5}} \right)\).

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn là M(3;-3) và \(M\left( {\dfrac{{29}}{5};\dfrac{{13}}{5}} \right)\).

b) Vì \(N \in \Delta \) nên gọi \(N\left( {4 + k; - 1 + 2k} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;2} \right)\).

\(AN \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {AN} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \Rightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AN} = \left( {2 + k; - 2 + 2k} \right)\\\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;2} \right)\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2 + k} \right).1 + \left( { - 2 + 2k} \right).2 = 0\\ \Leftrightarrow 2 + k - 4 + 4k = 0\\ \Leftrightarrow 5k - 2 = 0\\ \Leftrightarrow k = \dfrac{2}{5}\end{array}\)

Vậy \(N\left( {\dfrac{{22}}{5}; - \dfrac{1}{5}} \right).\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.