Giải phương trình \(\sin x\cos x + \left| {\cos x + \sin x} \right| = 1\).

Câu hỏi số 604585:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:604585

Giải chi tiết

Xét \(\sin x\cos x + \left| {\cos x + \sin x} \right| = 1\) (*)

Đặt \(\sin x + \cos x = t\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {t^2}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = {t^2}\\ \Leftrightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left| t \right| + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} = 1\\ \Leftrightarrow \left| t \right| - \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}{t^2} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{t^2} + \left| t \right| - \dfrac{3}{2} = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

TH1: \(0 \le t \le \sqrt 2 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{t^2} + t - \dfrac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\,\,\left( {Loai} \right)\\t = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

TH2: \( - \sqrt 2 \le t < 0 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{t^2} - t - \dfrac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\,\,\,\left( {Loai} \right)\\t = - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{{ - \pi }}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Kết hợp các nghiệm ta được \(x = \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.