Giải phương trình \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2\tan x + 2\cot x = 6\).

Câu hỏi số 604586:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:604586

Giải chi tiết

Xét \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2\tan x + 2\cot x = 6\) \(x \ne \left\{ {k\pi ,\,\,\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\)).

\( \Rightarrow {\tan ^2}x + \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x}} + 2\left( {\tan x + \dfrac{1}{{\tan x}}} \right) = 6\)

Đặt \(\tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} = t \Leftrightarrow {\tan ^2}x + \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x}} = {t^2} - 2\)

Thế vào phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}{t^2} - 2 + 2t = 6\\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 4\end{array} \right.\end{array}\)

+) t = 2 \( \Leftrightarrow \tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} = 2\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+) t = -4 \( \Leftrightarrow \tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} = - 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 4\tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 2 + \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\\tan x = - 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\dfrac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,\dfrac{{ - 5\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.