Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng

Câu hỏi số 609206:

Vận dụng cao

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc giữa SC và (SAD) bằng 30⁰, tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:609206

Phương pháp giải

- Dựng hình lăng trụ đứng SAB.FDC.

- Gọi N là trung điểm FD, chứng minh: \(\left( {SC;\left( {SAD} \right)} \right) = \angle CSN\).

- Trong tam giác vuông SCN tính SC.

- Sử dụng định lí Pytago tính BC.

- Tính diện tích tam giác ABC.

- Tính \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABC}}\), với H là trung điểm của AB.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAD} \right)\).

Dựng hình lăng trụ đứng SAB.FDC như hình vẽ, với SAB. FDC là các tam giác đều cạnh a.

Gọi N là trung điểm của FD.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}NC \bot FD\\NC \bot AD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow NC \bot \left( {SADF} \right)\) hay \(NC \bot \left( {SAD} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {SC;\left( {SAD} \right)} \right) = \angle CSN = {30^0}\).

Tam giác SCN vuông tại N có \(NC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\):

\( \Rightarrow SC = \dfrac{{NC}}{{\sin \angle SCN}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sin {{30}^0}}} = a\sqrt 3 \).

Tam giác SBC vuông tại B \( \Rightarrow BC = \sqrt {S{C^2} - S{B^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \).

Diện tích tam giác ABC là \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}a.a\sqrt 2 = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).

Gọi H là trung điểm của AB ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Chiều cao \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích khối chóp S.ABC là: \(V = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.