Cho phương trình \(\sin x\left( {2 - \cos 2x} \right) - 2\left( {2{{\cos }^3}x + m + 1} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x

Câu hỏi số 609207:

Vận dụng cao

Cho phương trình \(\sin x\left( {2 - \cos 2x} \right) - 2\left( {2{{\cos }^3}x + m + 1} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \) \(= 3\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \). Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\)?

A. \(8\).

B. \( - 12\).

C. \( - 10\).

D. \(9\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:609207

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(2{\cos ^3}x + m + 2 \ge 0\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}\sin x\left( {2 - \cos 2x} \right) - 2\left( {2{{\cos }^3}x + m + 1} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} = 3\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \\ \Leftrightarrow \sin x\left( {2 - 1 + 2{{\sin }^2}x} \right) = 2\left( {2{{\cos }^3}x + m + 1} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} + 3\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x + \sin x = 2\left( {2{{\cos }^3}x + m + 2} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} + \sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x + \sin x = 2{\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} ^3} + \sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \,\,(*)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 2{t^3} + t\) có \(f'\left( t \right) = 6{t^2} + 1 > 0,\,\forall t \Rightarrow \) Hàm số f(t) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {\sin x} \right) = f\left( {\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin x = \sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x \ge 0\\2{\cos ^3}x + m + 2 = {\sin ^2}x\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x \ge 0\\m = - 2{\cos ^3}x + {\sin ^2}x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x \ge 0\\m = - 2{\cos ^3}x - {\cos ^2}x - 1\end{array} \right.\).

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow m = - 2{t^3} - {t^2} - 1 = f\left( t \right),\,\,x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) \Rightarrow t \in \left( { - \dfrac{1}{2};1} \right]\) (**)

(với mỗi giá trị của \(\,t \in \left( { - \dfrac{1}{2};1} \right]\) cho ta đúng một giá trị của \(x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\)).

Để (*) có 1 nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\) thì (**) có 1 nghiệm \(\,t \in \left( { - \dfrac{1}{2};1} \right]\).

Xét hàm số \(f\left( t \right)\) trên \(\left( { - \dfrac{1}{2};1} \right]\), có \(f'\left( t \right) = - 6{t^2} - 2t,\,\,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\).

Ta có BBT hàm số f(t):

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\ - 4 \le m < - \dfrac{{28}}{{27}}\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\).

Tổng các giá trị của m là: \( - 10\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.