Cho hàm số y = f(x) với đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + 5}

Câu hỏi số 609217:

Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) với đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + 5} \right)\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = f(x) có đúng một điểm cực trị:

A. 5.

B. 3.

C. 4.

D. 6.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:609217

Phương pháp giải

Số cực trị của hàm số đa thức bằng số nghiệm bội lẻ của đạo hàm.

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + 5} \right)\).

Giải \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {boi\,chan} \right)\\x = - 1\,\,\left( {boi\,le} \right)\\{x^2} + 2m + 5 = 0\end{array} \right.\).

TH1: \({x^2} + 2m + 5 = 0\) (*) nhận \(x = 0\) là nghiệm \( \Rightarrow 0 + 2m + 5 = 0 \Rightarrow m = - \dfrac{5}{2}\).

Phương trình (*) trở thành: \({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {boi\,chan} \right)\).

Khi đó: \(f'\left( x \right) = 0\) có duy nhất một nghiệm bội lẻ là \(x = - 1\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng một điểm cực trị \( \Rightarrow \) Thỏa mãn.

TH2: \({x^2} + 2m + 5 = 0\) (*) nhận \(x = - 1\) là nghiệm \( \Rightarrow 1 + 2m + 5 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\).

Phương trình (*) trở thành: \({x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\,\,\left( {boi\,le} \right)\).

Khi đó: \(f'\left( x \right) = 0\) có duy nhất một nghiệm bội lẻ là \(x = 1\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng một điểm cực trị \( \Rightarrow \) Thỏa mãn.

TH3: \({x^2} + 2m + 5 = 0\) (*) không nhận \(x = 0\), \(x = - 1\) là nghiệm \( \Leftrightarrow m \notin \left\{ { - \dfrac{5}{2}; - 3} \right\}\):

Khi đó: Để \(f'\left( x \right) = 0\) có duy nhất một nghiệm bội lẻ thì \({x^2} + 2m + 5 = 0\) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 5 \le 0 \Leftrightarrow - \sqrt 5 \le m \le \sqrt 5 \).

Tập các giá trị của m nguyên thỏa mãn là: \(\left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).

Vậy có 6 giá trị m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.