1) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho \(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\) là số nguyên2) Biết a, b, c là

Câu hỏi số 611893:

Vận dụng cao

1) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho \(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\) là số nguyên

2) Biết a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1.

Chứng minh rằng \(\sqrt {a + bc} + \sqrt {b + ca} + \sqrt {c + ab} \ge 1 + \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:611893

Phương pháp giải

1) Đặt \(a = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)\( \Leftrightarrow a{x^2} - x + a + 1 = 0\). Tìm điều kiện a để phương trình có nghiệm kết hợp điều kiện a nguyên.

2) Chứng minh \(\sqrt {a + bc} = \sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right)} \), \(\sqrt {b + ac} = \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} ,\sqrt {c + ab} = \sqrt {\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)} \)

Chứng minh \(\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \ge a + \sqrt {bc} \), \(\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} \ge b + \sqrt {ca} \) và \(\sqrt {\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)} \ge c + \sqrt {ab} \)

Giải chi tiết

1) Đặt \(a = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)

Để \(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\) là số nguyên thì a nguyên

Ta có \(a = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a\left( {{x^2} + 1} \right) = x - 1\\ \Leftrightarrow a{x^2} + a - x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow a{x^2} - x + a + 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.a.\left( {a + 1} \right) = 1 - 4{a^2} - 4a\)

Điều kiện cần để \(a = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\) nguyên là (1) có nghiệm

Khi đó \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 1 - 4{a^2} - 4a \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{a^2} + 4a \le 1\\ \Leftrightarrow 4{a^2} + 4a + 1 \le 2\\ \Leftrightarrow {\left( {2a + 1} \right)^2} \le 2\\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le 2a + 1 \le \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - \sqrt 2 - 1}}{2} \le a \le \dfrac{{\sqrt 2 - 1}}{2}\end{array}\)

Mà a nguyên nên \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = 0\end{array} \right.\)

Thử lại với \(a = - 1 \Rightarrow - 1 = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} \Leftrightarrow - {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn \(x \in \mathbb{Z}\))

Với \(a = 0 \Rightarrow 0 = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)(thỏa mãn \(x \in \mathbb{Z}\))

Vậy \(x \in \left\{ { - 1,0,1} \right\}\) thì \(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\) là số nguyên

2)\(\sqrt {a + bc} + \sqrt {b + ca} + \sqrt {c + ab} \ge 1 + \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)

Ta có \(\sqrt {a + bc} = \sqrt {a\left( {a + b + c} \right) + bc} = \sqrt {{a^2} + ab + ac + bc} = \sqrt {a\left( {a + c} \right) + b\left( {a + c} \right)} = \sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right)} \)

Tương tự ta có \(\sqrt {b + ac} = \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} ,\sqrt {c + ab} = \sqrt {\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)} \)

Khi đó bất phương trình trở thành \(\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right)} + \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} + \sqrt {\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)} \ge 1 + \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)

Ta có \(\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \ge a + \sqrt {bc} \Leftrightarrow {a^2} + ac + ab + bc \ge {a^2} + 2a\sqrt {bc} + bc\)

\( \Leftrightarrow ac + ab - 2a\sqrt {bc} \ge 0\)\( \Leftrightarrow c + b - 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt c - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\)(luôn đúng)

Tương tự ta có \(\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} \ge b + \sqrt {ca} \) và \(\sqrt {\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)} \ge c + \sqrt {ab} \)

Suy ra \(\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right)} + \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} + \sqrt {\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)} \ge a + b + c + \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)

Hay \(\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right)} + \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} + \sqrt {\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)} \ge 1 + \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)

Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link