Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt MA, MB
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt MA, MB đến đường tròn ( A, B là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Đường thẳng MO cắt đường tròn (O) lần lượt tại hai điểm C, D phân biệt sao cho MC < MD . Chứng minh: MA.DA= MD.AC.
c) Đường thẳng BO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Kẻ AI vuông góc với BE tại I. Đường thẳng ME cắt AI tại K, đường thẳng MO cắt AB tại H . Chứng minh hai đường thẳng HK và BE song song.
Quảng cáo
a) Dùng tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)
b) Chứng minh \(\Delta MAC = \Delta MDA\left( {g.g} \right)\)
c) Chứng minh \(AF\) là phân giác của \(\angle MAK\) và \(\dfrac{{AK}}{{BM}} = \dfrac{{KI}}{{BM}} \Rightarrow AK = KI\).
Cách giải:
a) Do MA, MB là tiếp tuyến nên \(\angle MAO = \angle MBO = {90^0}\)
Xét tứ giác AMBO có \(\angle MAO + \angle MBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AMBO nội tiếp
b) MA.DA= MD.AC.
Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MDA\) có
\(\angle AMD\) chung
\(\angle MAC = \angle MDA\) (góc nội tiếp và góc tọa bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung )
Suy ra \(\Delta MAC = \Delta MDA\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{AC}}{{AD}} \Rightarrow MA.AD = MD.AC\) (đpcm)
c) Ta có
Mà \(\angle AEB = \angle IAB\) (do cùng phụ \(\angle EAI\))
\( \Rightarrow \angle MAB = \angle BAI\)
\( \Rightarrow AF\) là phân giác của \(\angle MAK\)
Mà \(AF \bot AE \Rightarrow AE\) là phân giác ngoài của \(\angle MAK\)
Khi đó ta có \(\dfrac{{EK}}{{EM}} = \dfrac{{FK}}{{FM}} = \dfrac{{AK}}{{AM}}\) (t/c tia phân giác)
Ta có \(\dfrac{{FK}}{{FM}} = \dfrac{{AK}}{{AM}} \Rightarrow \dfrac{{FK}}{{FM}} = \dfrac{{AK}}{{AB}}\) (1)
Do \(\left\{ \begin{array}{l}KI \bot BE\\BM \bot BE\end{array} \right. \Rightarrow KI\parallel MB\) \( \Rightarrow \dfrac{{KE}}{{EM}} = \dfrac{{KI}}{{BM}}\) (Ta-let) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{AK}}{{BM}} = \dfrac{{KI}}{{BM}} \Rightarrow AK = KI\)
Suy ra K là trung điểm của AI.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OB\\MA = MB\end{array} \right. \Rightarrow MO\) là trung trực của AB nên H là trung điểm AB
Suy ra HK là đường trung bình của \(\Delta ABI\)\( \Rightarrow HK\parallel BE\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
