Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + 2m{x^3} + \left(

Câu hỏi số 614577:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + 2m{x^3} + \left( {2m + 3} \right){x^2} + 2\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 0\)?

A. 6.

B. 4.

C. 3.

D. 5.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:614577

Phương pháp giải

Nhận xét: Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + 2m{x^3} + \left( {2m + 3} \right){x^2} + 2\) là hàm số bậc bốn có hệ số \(a > 0.\)

Do đó, hàm số \(f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 0\,\, \Rightarrow \) Hàm số đạt cực trị tại \(x = 0\).

Giải chi tiết

\(f\left( x \right) = {x^4} + 2m{x^3} + \left( {2m + 3} \right){x^2} + 2\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 4{x^3} + 6m{x^2} + 2\left( {2m + 3} \right)x = 2x\left( {2{x^2} + 3mx + 2m + 3} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} + 3mx + 2m + 3 = 0\,\,(*)\end{array} \right.\)

Nhận xét: Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + 2m{x^3} + \left( {2m + 3} \right){x^2} + 2\) là hàm số bậc bốn có hệ số \(a > 0.\)

Do đó, hàm số \(f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 0\,\)

\(\, \Rightarrow \)Hàm số đạt cực trị tại \(x = 0\).

\( \Rightarrow \) PT (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta \le 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 16m - 24 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{8 - 6\sqrt 5 }}{9} \le m \le \dfrac{{8 + 6\sqrt 5 }}{9}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Kiểm tra lại:

+) \(m = 0 \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = {x^4} + 3{x^2} + 2,\,\)

\(f'\left( x \right) = 4{x^3} + 6x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Rightarrow \)Thỏa mãn.

+) \(m = 1 \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = {x^4} + 2{x^3} + 5{x^2} + 2,\,\)

\(f'\left( x \right) = 4{x^3} + 6{x^2} + 10x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Rightarrow \)Thỏa mãn.

+) \(m = 2 \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = {x^4} + 4{x^3} + 7{x^2} + 2,\,\)

\(f'\left( x \right) = 4{x^3} + 12{x^2} + 14x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Rightarrow \)Thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.