Số phức \(z = a + bi,\,\,\,a,b \in \mathbb{R}\) là nghiệm của phương trình \(\dfrac{{\left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right)}}{{z - \dfrac{1}{{\overline z }}}} = i\). Tổng \(T = {a^2} + {b^2}\) bằng

Câu 615985: Số phức \(z = a + bi,\,\,\,a,b \in \mathbb{R}\) là nghiệm của phương trình \(\dfrac{{\left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right)}}{{z - \dfrac{1}{{\overline z }}}} = i\). Tổng \(T = {a^2} + {b^2}\) bằng

A. 4.

B. \(4 - 2\sqrt 3 \).

C. \(3 + 2\sqrt 2 \).

D. 3.

Câu hỏi : 615985

Phương pháp giải:

Sử dụng:

\(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2}\).

\(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\dfrac{{\left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right)}}{{z - \dfrac{1}{{\overline z }}}} = i \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right) = \left( {z - \dfrac{1}{{\overline z }}} \right)i \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right) = \dfrac{{z.\overline z - 1}}{{\overline z }}i\)\( \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {\overline z + iz.\overline z } \right) = \left( {z.\overline z - 1} \right)i\)
\( \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {\overline z + i{{\left| z \right|}^2}} \right) = \left( {{{\left| z \right|}^2} - 1} \right)i \Leftrightarrow \overline z + i{\left| z \right|^2} = \left( {\left| z \right| + 1} \right)i\,\,\left( {do\,\left| z \right| - 1 \ne 0\,} \right)\)
\( \Leftrightarrow \overline z = \left( { - {{\left| z \right|}^2} + \left| z \right| + 1} \right)i \Rightarrow \left| {\overline z } \right| = \left| {\left( { - {{\left| z \right|}^2} + \left| z \right| + 1} \right)i} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| = \left| { - {{\left| z \right|}^2} + \left| z \right| + 1} \right|\)
Đặt \(\left| z \right| = t \ge 0,t \ne 1\), ta có phương trình :
\(\begin{array}{l}t = \left| { - {t^2} + t + 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - {t^2} + t + 1\\t = {t^2} - t - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} - 1 = 0\\{t^2} - 2t - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\left( L \right)\\t = 1\,\left( L \right)\\t = 1 + \sqrt 2 \\t = 1 - \sqrt 2 \,\left( L \right)\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \left| z \right| = 1 + \sqrt 2 \end{array}\)
Do đó: \(T = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2} = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2\sqrt 2 \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.