Số phức \(z = a + bi,\,\,\,a,b \in \mathbb{R}\) là nghiệm của phương trình \(\dfrac{{\left( {\left| z

Câu hỏi số 615985:

Vận dụng cao

Số phức \(z = a + bi,\,\,\,a,b \in \mathbb{R}\) là nghiệm của phương trình \(\dfrac{{\left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right)}}{{z - \dfrac{1}{{\overline z }}}} = i\). Tổng \(T = {a^2} + {b^2}\) bằng

A. 4.

B. \(4 - 2\sqrt 3 \).

C. \(3 + 2\sqrt 2 \).

D. 3.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615985

Phương pháp giải

Sử dụng:

\(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2}\).

\(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\).

Giải chi tiết

\(\dfrac{{\left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right)}}{{z - \dfrac{1}{{\overline z }}}} = i \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right) = \left( {z - \dfrac{1}{{\overline z }}} \right)i \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right) = \dfrac{{z.\overline z - 1}}{{\overline z }}i\)\( \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {\overline z + iz.\overline z } \right) = \left( {z.\overline z - 1} \right)i\)

\( \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {\overline z + i{{\left| z \right|}^2}} \right) = \left( {{{\left| z \right|}^2} - 1} \right)i \Leftrightarrow \overline z + i{\left| z \right|^2} = \left( {\left| z \right| + 1} \right)i\,\,\left( {do\,\left| z \right| - 1 \ne 0\,} \right)\)

\( \Leftrightarrow \overline z = \left( { - {{\left| z \right|}^2} + \left| z \right| + 1} \right)i \Rightarrow \left| {\overline z } \right| = \left| {\left( { - {{\left| z \right|}^2} + \left| z \right| + 1} \right)i} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| = \left| { - {{\left| z \right|}^2} + \left| z \right| + 1} \right|\)

Đặt \(\left| z \right| = t \ge 0,t \ne 1\), ta có phương trình :

\(\begin{array}{l}t = \left| { - {t^2} + t + 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - {t^2} + t + 1\\t = {t^2} - t - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} - 1 = 0\\{t^2} - 2t - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\left( L \right)\\t = 1\,\left( L \right)\\t = 1 + \sqrt 2 \\t = 1 - \sqrt 2 \,\left( L \right)\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \left| z \right| = 1 + \sqrt 2 \end{array}\)

Do đó: \(T = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2} = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.