Gọi S là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w = \dfrac{1}{{\left| z \right| - z}}\)
Gọi S là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w = \dfrac{1}{{\left| z \right| - z}}\) có phần thực bằng \(\dfrac{1}{{12}}\). Xét các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 6\), giá trị nhỏ nhất của \(P = {\left| {{z_1} - 10} \right|^2} - {\left| {{z_2} - 10} \right|^2}\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng hình Oxy để tìm GTNN của P.
Giả sử \(z = a + bi,\,a,b \in \mathbb{R}\). Khi đó:
\(\begin{array}{l}w = \dfrac{1}{{\left| z \right| - z}} = \dfrac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a - bi}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a + bi}}{{\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a} \right) + {b^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} - a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)}} + \dfrac{b}{{2\left( {{a^2} + {b^2} - a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)}}i\end{array}\)
Do \(w = \dfrac{1}{{\left| z \right| - z}}\) có phần thực bằng \(\dfrac{1}{{12}}\) nên
\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} - a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)}} = \dfrac{1}{{12}}\\ \Leftrightarrow 6\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a} \right) = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a = 0\,\,(1)\\\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 6\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\).
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\{a^2} + {b^2} = {a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\b = 0\end{array} \right.\) : Loại, do \(\left| z \right| - z = 0\).
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left| z \right| = 6\).
\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 6\).
Gọi \(A,B\) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2} \Rightarrow OA = OB = AB = 6\).
\( \Rightarrow A,B \in C\left( {O;6} \right),\,\,\Delta OAB\) đều.
Xét \(P = {\left| {{z_1} - 10} \right|^2} - {\left| {{z_2} - 10} \right|^2}\), gọi \(M\left( {10;0} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \({z_0} = 10\). Khi đó:
\(\begin{array}{l}P = {\left| {{z_1} - {z_0}} \right|^2} - {\left| {{z_2} - {z_0}} \right|^2} = A{M^2} - B{M^2}\\\,\,\,\, = {\overrightarrow {MA} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)^2}\\\,\,\,\, = M{O^2} - 2.\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OA} + O{A^2} - M{O^2} + 2.\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OB} - O{B^2}\\\,\,\,\, = 2.\overrightarrow {MO} .\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) = 2.\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {AB} \\\,\,\,\, = 2.MO.AB.\cos \left( {\overrightarrow {MO} ;\overrightarrow {AB} } \right) \ge 2.10.6.\left( { - 1} \right) = - 120.\end{array}\)
\( \Rightarrow {P_{\min }} = - 120 \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {MO} ,\,\,\overrightarrow {AB} \) cùng phương ngược chiều (như hình vẽ).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
