Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Gọi \(H\) là điểm thuộc đoạn thẳng

Câu hỏi số 616030:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Gọi \(H\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(AO\left( {H \ne A,H \ne O} \right)\). Qua \(H\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(AB\), đường thẳng này cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\) và \(D\). Hai đường thẳng \(BC\) và \(AD\) cắt nhau tại \(M\). Gọi \(N\) là hình chiếu của \(M\) trên đường thẳng \(AB\).

a) Chứng minh \(\angle {ACN} = \angle {AMN}\).

b) Chứng minh \({\rm{C}}{{\rm{H}}^2} = {\rm{NH}}.{\rm{OH}}\).

c) Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left( {\rm{O}} \right)\) cắt \(NC\) tại \(E\). Chứng minh đường thẳng \(EB\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \({\rm{CH}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:616030

Giải chi tiết

a) Tứ giác \(MNAC\) có \(\angle {MNA} + \angle {MCA} = {90^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ }\) nên \(MNAC\) là tứ giác nội tiếp.

suy ra \(\angle ACN = \angle AMN\)

b) Ta có \(\angle ACN = \angle AMN\)

Do \(MN,DC\) cùng vuông góc với \(CD\) nên \(MN\parallel CD\)\( \Rightarrow \angle AMN = \angle ADC\)

Do \(AB \bot CD\) nên H là trung điểm CD

Tam giác ACD có AH vừa là vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên \(\Delta ACD\) cân tại A

Khi đó \(\angle ADC = \angle ACD \Rightarrow \angle ACN = \angle ACD\)

Ta có \(\angle NCO = \angle ACN + \angle ACO = \angle ACD + \angle OAC = {90^0}\)

\( \Rightarrow CN \bot CO\)

\( \Rightarrow \Delta NCO\) vuông tại C \( \Rightarrow C{H^2} = NH.OH\)

c) \(\angle ACE = \angle EAC\) (cùng bằng )

\( \Rightarrow \Delta AEC\) cân tại E

\( \Rightarrow E\) thuộc đường trung trực của AC

Gọi F là giao điểm của AE và BM

Ta có C thuộc đường tròn đường kính FA nên trung trực của AC cắt đường kính FA tại tâm của đường tròn này. Suy ra E là trung điểm của FA

Gọi K là giao điểm của CH và BE.

Ta có \(CH\parallel FA\) nên \(\dfrac{{CK}}{{FE}} = \dfrac{{KH}}{{EA}}\left( { = \dfrac{{BK}}{{BE}}} \right)\)

Mà \(FE = EA \Rightarrow CK = KH\)

Vậy BE đi qua trung điểm của CH

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link