a) Giải phương trình \(\sqrt {x + 4\sqrt {x - 3} + 1} + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 3} + 1} = x

Câu hỏi số 617187:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình \(\sqrt {x + 4\sqrt {x - 3} + 1} + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 3} + 1} = x - 11\).

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8xy - x - 14y + 4 = 0}\\{8{x^2}{y^2} + 7xy - 20{y^2} + 2 = 0}\end{array}} \right.\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617187

Phương pháp giải

a) Biến đổi pt về dạng \(\left| {\sqrt {x - 3} + 2\left| + \right|\sqrt {x - 3} - 2} \right| = x - 11\)

b) Chia hai phương trình của hệ cho y

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x \ge 3\).

Với điều kiện đó, ta có \(\sqrt {x + 4\sqrt {x - 3} + 1} + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 3} + 1} = x - 11\) \( \Leftrightarrow \sqrt {x - 3 + 4\sqrt {x - 3} + 4} + \sqrt {x - 3 - 4\sqrt {x - 3} + 4} = x - 11\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{(\sqrt {x - 3} + 2)}^2}} + \sqrt {{{(\sqrt {x - 3} - 2)}^2}} = x - 11\)

\( \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 3} + 2\left| + \right|\sqrt {x - 3} - 2} \right| = x - 11\)

Nếu \(x < 11\) thì \(x - 11 < 0\), không thỏa mãn phương trình.

Nếu \(x \ge 11\) thì \(\sqrt {x - 3} - 2 > 0\), ta có

\(\left| {\sqrt {x - 3} + 2\left| + \right|\sqrt {x - 3} - 2} \right| = x - 11\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 3} = x - 11\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 26x + 133 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 7\left( {ktm} \right)}\\{x = 19\left( {{\rm{tm}}} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 19\).

b) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8xy - x - 14y + 4 = 0}\\{8{x^2}{y^2} + 7xy - 20{y^2} + 2 = 0}\end{array}} \right.\).

Nếu \(y = 0\) thì không thỏa mãn hệ.

Nếu \(y \ne 0\) thì hệ tương đương với

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8x - \dfrac{x}{y} - 14 + \dfrac{4}{y} = 0}\\{8{x^2} + 7\dfrac{x}{y} - 20 + \dfrac{2}{{{y^2}}} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4\left( {2x + \dfrac{1}{y}} \right) - \dfrac{x}{y} - 14 = 0}\\{2{{\left( {2x + \dfrac{1}{y}} \right)}^2} - \dfrac{x}{y} - 20 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Trừ (2) cho (1) theo vế ta được

\(2{\left( {2x + \dfrac{1}{y}} \right)^2} - 4\left( {2x + \dfrac{1}{y}} \right) - 6 = 0\).

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \dfrac{1}{y} = - 1}\\{2x + \dfrac{1}{y} = 3}\end{array}} \right.\)

TH1: \(2x + \dfrac{1}{y} = - 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{y} = - 2x - 1\).

Thay vào (1), ta có \( - 4 - x\left( { - 2x - 1} \right) - 14 = 0\).

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 18 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {145} }}{2}\)

\({\rm{TH}}1:2x + \dfrac{1}{y} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{y} = - 2x + 3\).

Thay vào (1), ta có \(12 - x\left( { - 2x + 3} \right) - 14 = 0\).

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = - \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:

\(\left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt {145} }}{2};\dfrac{{\sqrt {145} }}{{145}}} \right),\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt {145} }}{2}; - \dfrac{{\sqrt {145} }}{{145}}} \right),\left( {2; - 1} \right),\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link