a) Tìm một đa thức bậc ba \(P\left( x \right)\) với hệ số nguyên nhận \(x = \dfrac{{2 +

Câu hỏi số 617186:

Vận dụng cao

a) Tìm một đa thức bậc ba \(P\left( x \right)\) với hệ số nguyên nhận \(x = \dfrac{{2 + \sqrt[3]{4}}}{3}\) là một nghiệm và \(P\left( 1 \right) = - 6\)

b) Tìm nghiệm tất cả các số nguyên \(x,y\) thỏa mãn:

\({x^2}{y^2} - 2{x^2}y + 3{x^2} + 4xy - 4x + 2{y^2} - 4y - 1 = 0.{\rm{\;}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617186

Phương pháp giải

1) Ta có \(x = \dfrac{{2 + \sqrt[3]{4}}}{3} \Leftrightarrow 3x - 2 = \sqrt[3]{4} \Leftrightarrow {(3x - 2)^3} = 4 \Leftrightarrow 27{x^3} - 18{x^2} + 12x - 12 = 0\).

Suy ra đa thức bậc ba \(P\left( x \right)\) thỏa đề có dạng \(P\left( x \right) = k\left( {27{x^3} - 18{x^2} + 12x - 12} \right)\) với \(k\) là hằng số.

2) Biến đổi phương trình về dạng \({(xy - x)^2} + 2{(x + y - 1)^2} = 3\)

Giải chi tiết

a) Ta có \(x = \dfrac{{2 + \sqrt[3]{4}}}{3} \Leftrightarrow 3x - 2 = \sqrt[3]{4} \Leftrightarrow {(3x - 2)^3} = 4 \Leftrightarrow 27{x^3} - 18{x^2} + 12x - 12 = 0\).

Suy ra đa thức bậc ba \(P\left( x \right)\) thỏa đề có dạng \(P\left( x \right) = k\left( {27{x^3} - 18{x^2} + 12x - 12} \right)\) với \(k\) là hằng số.

Vì \(P\left( 1 \right) = - 6\) nên \( - 3k = - 6 \Leftrightarrow k = 2\).

Vậy có đa thức cần tìm là \(P\left( x \right) = 54{x^3} - 36{x^2} + 24x - 24\).

b) Tìm nghiệm tất cả các số nguyên \(x,y\) thỏa mãn:

\({x^2}{y^2} - 2{x^2}y + 3{x^2} + 4xy - 4x + 2{y^2} - 4y - 1 = 0.\)

Ta có \({x^2}{y^2} - 2{x^2}y + 3{x^2} + 4xy - 4x + 2{y^2} - 4y - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2}{y^2} - 2{x^2}y + {x^2}} \right) + \left( {2{x^2} + 4xy + 2{y^2}} \right) - 4x - 4y - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {(xy - x)^2} + 2{(x + y)^2} - 4\left( {x + y} \right) + 2 = 3\\ \Leftrightarrow {(xy - x)^2} + 2{(x + y - 1)^2} = 3\end{array}\)

Vì \(x,y\) là các số nguyên nên \({(xy - x)^2}\) và \({(x + y - 1)^2}\) là các số tự nhiên.

Do đó, \({(xy - x)^2} + 2{(x + y - 1)^2} = 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(xy - x)}^2} = 1}\\{{{(x + y - 1)}^2} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{[x\left( {y - 1} \right)]}^2} = 1}\\{{x^2} + {{(y - 1)}^2} + 2x\left( {y - 1} \right) = 1}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\left( {y - 1} \right) = 1}\\{{x^2} + {{(y - 1)}^2} = - 1}\end{array}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\left( {y - 1} \right) = - 1}\\{{x^2} + {{(y - 1)}^2} = 3}\end{array}} \right.\)

Cả hai trường hợp đều không thỏa mãn.

Vậy không tồn tại các số nguyên \(x,y\) thỏa mãn đề bài.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link