Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), kẻ ba đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau

Câu hỏi số 617188:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), kẻ ba đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(H\), lấy điểm \(M\) trên cung nhỏ \(BC\left( {M \ne B,C} \right)\). Gọi \(P\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AB\).

a) Chứng minh: \(\angle {APB} = \angle {ACB}\) và tứ giác \(AHBP\) nội tiếp một đường tròn.

b) Chứng minh: \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(FDE\).

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \dfrac{{AD}}{{HD}} + \dfrac{{BE}}{{HE}} + \dfrac{{CF}}{{HF}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617188

Giải chi tiết

a) \(P\) đối xứng với \(M\) qua \(AB\) nên \(\angle {APB} = \angle {APM} + \angle {MPB} = \angle {AMP} + \angle {PMB} = \angle {AMB}\)

Do \(\angle {AMB}\) và \(\angle {ACB}\) là các góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\) nên \(\angle {AMB} = \angle {ACB}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle {APB} = \angle {ACB}\)

Tứ giác \(DHEC\) có \(\angle {HDC} = \angle {HEC} = {90^ \circ }\) (vì \(AD,BE\) là các đường cao của \(Delta ABC\) ) nên \(\angle {ECD} + \angle {EHD} = {180^ \circ }\). Suy ra \(\angle {ACB} + \angle {AHB} = {180^ \circ }\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\angle {APB} + \angle {AHB} = {180^ \circ }\). Do đó, tứ giác \(AHBP\) nội tiếp một đường tròn.

b) Dễ thấy, \(HFAE,{\rm{\;}}AEDB,{\rm{\;}}DBFH\) là các tứ giác nội tiếp nên \(\angle {HFE} = \angle {HAE} = \angle {HBD} = \angle {HFD}\)Suy ra \(HF\) là đường phân giác của tam giác \(FDE\).

Tương tự, \(HD\) cũng là đường phân giác của tam giác \(FDE\).

Vậy \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(FDE\).

c) Đặt \({S_{HBC}} = x,{S_{HCA}} = y,{S_{HAB}} = z\). Ta có: \(\dfrac{{AD}}{{HD}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}AD \cdot BC}}{{\dfrac{1}{2}HD \cdot BC}} = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{HBC}}}} = \dfrac{{x + y + z}}{x}\).

Tương tự, ta cũng có: \(\dfrac{{BE}}{{HE}} = \dfrac{{x + y + z}}{y};\dfrac{{CF}}{{HF}} = \dfrac{{x + y + z}}{z}\).

Suy ra \(T = \dfrac{{x + y + z}}{x} + \dfrac{{x + y + z}}{y} + \dfrac{{x + y + z}}{z} = 3 + \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right)\). Áp dụng bất đẳng thức \({\rm{AM}}\) - GM, ta có:

\(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{x}} = 2;{\rm{\;}}\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{y}{z} \cdot \dfrac{z}{y}} = 2;{\rm{\;}}\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z} \ge 2\sqrt {\dfrac{z}{x} \cdot \dfrac{x}{z}} = 2\).

Suy ra \(T \ge 9\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{x}}\\{\dfrac{y}{z} = \dfrac{z}{y}}\\{\dfrac{z}{x} = \dfrac{x}{z}}\end{array} \Leftrightarrow x = y = z \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD = 3HD}\\{BE = 3HE}\\{CF = 3HF}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Mà \(H\) cũng là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên lúc đó \(Delta ABC\) là tam giác đều.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link