Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thứca) \(E = 4 - \left| {5x - 2} \right| -

Câu hỏi số 618689:

Vận dụng

Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức

a) \(E = 4 - \left| {5x - 2} \right| - \left| {5x + 12} \right|\)

b) \(F = \left| {4x - 3} \right| + 4\left| {x + 7,5} \right| + 12,5\)

c) \(G = 3\left| {x - 3} \right| + \left| {3x + 1} \right| + 35\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618689

Phương pháp giải

+ Sử dụng bất đẳng thức \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {ab} \right|\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(ab \ge 0\)

+ Khi nhân hoặc chia với số âm ta cần đổi chiều bất phương trình

Giải chi tiết

a) \(E = 4 - \left| {5x - 2} \right| - \left| {5x + 12} \right| = 4 - \left( {\left| {5x - 2} \right| + \left| {5x + 12} \right|} \right)\)\( = 4 - \left( {\left| {2 - 5x} \right| + \left| {5x + 12} \right|} \right)\)

Ta có \(\left| {2 - 5x} \right| + \left| {5x + 12} \right| \ge \left| {2 - 5x + 5x + 12} \right| = \left| {14} \right| = 14\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \left( {\left| {2 - 5x} \right| + \left| {5x + 12} \right|} \right) \le - 14\forall x\\ \Rightarrow 4 - \left( {\left| {2 - 5x} \right| + \left| {5x + 12} \right|} \right) \le 4 - 14\forall x\end{array}\)

Hay \(E \le - 10\forall x\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {2 - 5x} \right)\left( {5x + 12} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - 5x \ge 0\\5x + 12 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{2}{5}\\x \ge - \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{{12}}{5} \le x \le \dfrac{2}{5}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - 5x \le 0\\5x + 12 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{2}{5}\\x \le - \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy GTLN của \(E\) là \( - 10\) khi và chỉ khi \( - \dfrac{{12}}{5} \le x \le \dfrac{2}{5}\)

b) \(F = \left| {4x - 3} \right| + 4\left| {x + 7,5} \right| + 12,5 = \left| {4x - 3} \right| + \left| {4x + 30} \right| + 12,5\)

Ta có: \(\left| {4x - 3} \right| + \left| {4x + 30} \right| = \left| {3 - 4x} \right| + \left| {4x + 30} \right| \ge \left| {3 - 4x + 4x + 30} \right| = \left| {30} \right| = 30\forall x\)

\( \Rightarrow \left| {4x - 3} \right| + \left| {4x + 30} \right| + 12,5 \ge 42,5\forall x\)

Hay \(F \ge 42,5\forall x\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {3 - 4x} \right)\left( {4x + 30} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}3 - 4x \ge 0\\4x + 30 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{3}{4}\\x \ge - \dfrac{{15}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{{15}}{2} \le x \le \dfrac{3}{4}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}3 - 4x \le 0\\4x + 30 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{3}{4}\\x \le - \dfrac{{15}}{2}\end{array} \right.\) (vô lí)

Vậy GTNN của \(F\) là \(42,5\) khi và chỉ khi \( - \dfrac{{15}}{2} \le x \le \dfrac{3}{4}\)

c) \(G = 3\left| {x - 3} \right| + \left| {3x + 1} \right| + 35 = \left| {3x - 9} \right| + \left| {3x + 1} \right| + 35\)

Ta có: \(\left| {3x - 9} \right| + \left| {3x + 1} \right| = \left| {9 - 3x} \right| + \left| {3x + 1} \right| \ge \left| {9 - 3x + 3x + 1} \right| = \left| {10} \right| = 10\forall x\)

\( \Rightarrow \left| {3x - 9} \right| + \left| {3x + 1} \right| + 35 \ge 45\forall x\)

Hay \(G \ge 45\forall x\)

Dấu “=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {9 - 3x} \right)\left( {3x + 1} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}9 - 3x \ge 0\\3x + 1 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x \ge - \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{1}{3} \le x \le 3\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}9 - 3x \le 0\\3x + 1 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy GTNN của \(G\) là \(45\) khi và chỉ khi \( - \dfrac{1}{3} \le x \le 3\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link