Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức a) \(M = \left| {5x - 3} \right| +

Câu hỏi số 618690:

Vận dụng

Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức

a) \(M = \left| {5x - 3} \right| + 5\left| {x + 5} \right| + 14\)

b) \(N = - 2\left| {6x + 5} \right| - 3\left| {4x - 5} \right| + 8\)

c) \(P = 2\left| {3x - 2} \right| + 3\left| {2x + 1} \right| + 6\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618690

Phương pháp giải

+ Sử dụng bất đẳng thức \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {ab} \right|\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(ab \ge 0\)

+ Khi nhân hoặc chia với số âm ta cần đổi chiều bất phương trình

Giải chi tiết

a) \(M = \left| {5x - 3} \right| + 5\left| {x + 5} \right| + 14 = \left| {5x - 3} \right| + \left| {5x + 25} \right| + 14\)

Ta có: \(\left| {5x - 3} \right| + \left| {5x + 25} \right| = \left| {3 - 5x} \right| + \left| {5x + 25} \right| \ge \left| {3 - 5x + 5x + 25} \right| = \left| {28} \right| = 28\forall x\)

\( \Rightarrow \left| {5x - 3} \right| + \left| {5x + 25} \right| + 14 \ge 42\forall x\)

Hay \(M \ge 42\forall x\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {3 - 5x} \right)\left( {5x + 25} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}3 - 5x \le 0\\5x + 25 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{3}{5}\\x \le - 5\end{array} \right.\) (Vô lí)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}3 - 5x \ge 0\\5x + 25 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{3}{5}\\x \ge - 5\end{array} \right. \Rightarrow - 5 \le x \le \dfrac{3}{5}\)

Vậy GTNN của \(M\) là \(42\) khi và chỉ khi \( - 5 \le x \le \dfrac{3}{5}\)

b) \(N = - 2\left| {6x + 5} \right| - 3\left| {4x - 5} \right| + 8 = - \left| {12x + 10} \right| - \left| {12x - 15} \right| + 8 = - \left( {\left| {12x + 10} \right| + \left| {12x - 15} \right|} \right) + 8\)

Ta có: \(\left| {12x + 10} \right| + \left| {12x - 15} \right| = \left| {12x + 10} \right| + \left| {15 - 12x} \right| \ge \left| {12x + 10 + 15 - 12x} \right| = \left| {25} \right| = 25\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \left( {\left| {12x + 10} \right| + \left| {12x - 15} \right|} \right) \le 25\forall x\\ \Rightarrow - \left( {\left| {12x + 10} \right| + \left| {12x - 15} \right|} \right) + 8 \le 33\forall x\end{array}\)

Hay \(N \le 33\forall x\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {12x + 10} \right)\left( {15 - 12x} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}12x + 10 \ge 0\\15 - 12x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{5}{6}\\x \le \dfrac{5}{4}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{5}{6} \le x \le \dfrac{5}{4}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}12x + 10 \le 0\\15 - 12x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{5}{6}\\x \ge \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy GTLN của \(N\) là \(33\) khi và chỉ khi \( - \dfrac{5}{6} \le x \le \dfrac{5}{4}\)

c) \(P = 2\left| {3x - 2} \right| + 3\left| {2x + 1} \right| + 6 = \left| {6x - 4} \right| + \left| {6x + 3} \right| + 6\)

Ta có : \(\left| {6x - 4} \right| + \left| {6x + 3} \right| = \left| {4 - 6x} \right| + \left| {6x + 3} \right| \ge \left| {4 - 6x + 6x + 3} \right| = \left| 7 \right| = 7\forall x\)

\( \Rightarrow \left| {6x - 4} \right| + \left| {6x + 3} \right| + 6 \ge 13\forall x\)

Hay \(P \ge 13\forall x\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {4 - 6x} \right)\left( {6x + 3} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}4 - 6x \ge 0\\6x + 3 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{2}{3}\\x \ge - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{2}{3}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}4 - 6x \le 0\\6x + 3 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{2}{3}\\x \le - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy GTNN của \(P\) là \(13\) khi và chỉ khi \( - \dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{2}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link