a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n\) thì biểu thức \(P = n\left( {13n + 1} \right)\left( {2n + 1}

Câu hỏi số 620447:

Vận dụng cao

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n\) thì biểu thức \(P = n\left( {13n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\) chia hết cho 6.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(3{x^2} + 2{y^2} + x = 2\left( {xy + y + 2} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620447

Giải chi tiết

a) Nếu \(n\) chã̃n \( \Rightarrow n \vdots 2\).

Nếu \(n\) lẻ \( \Rightarrow 13n + 1:2\).

Suy ra \(P:2\) với \(\forall n \in \mathbb{Z}\).

Nếu \(n \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right) \Rightarrow P:3\).

Nếu \(n \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right) \Rightarrow 2n + 1 \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right)\).

Nếu \(n \equiv 2\left( {{\rm{mod}}3} \right) \Rightarrow 13n + 1 \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right)\).

Suy ra \(P:3\) với \(\forall n \in \mathbb{Z}\).

Mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên \(P:6\) với \(\forall n \in \mathbb{Z}\).

b) \(3{x^2} + 2{y^2} + x = 2\left( {xy + y + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{y^2} - 2\left( {x + 1} \right)y + 3{x^2} + x - 4 = 0\).

Ta coi phương trình (1) là phương trình bậc 2 ẩn \(y,x\) là tham số.

Ta có \({\rm{\Delta '}} = {(x + 1)^2} - 2\left( {3{x^2} + x - 4} \right) = - 5{x^2} + 9\).

Để phương trình (1) có nghiệm thì \({\rm{\Delta '}} \ge 0 \Leftrightarrow - 5{x^2} + 9 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le \dfrac{9}{5} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 1}\\{{x^2} = 0}\end{array}} \right.\).

Do \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\), thay vào phương trình (1) ta được các nghiệm nguyên \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( { - 1;1} \right),\left( { - 1; - 1} \right),\left( {0;2} \right),\left( {0; - 1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {1;0} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link