Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ -

Câu hỏi số 621383:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{3} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 2}}\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{3} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 2}}\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z - 2022 = 0\) và cắt hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - t\\y = \dfrac{5}{2}\\z = - \dfrac{9}{2} + t\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 2t\\y = \dfrac{5}{2} + t\\z = - \dfrac{9}{2} + t\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = \dfrac{5}{2} - t\\z = - \dfrac{9}{2} + t\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{9}{5} + 3t\\y = \dfrac{2}{5} + 6t\\z = - \dfrac{{15}}{2} + 10t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621383

Phương pháp giải

Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1 + 2a;a; - 2 - a} \right) \in {d_1}\\B\left( {1 + b; - 2 + 3b;2 - 2b} \right) \in {d_2}\end{array} \right.\), tính \(\overrightarrow {AB} \).

Vì \(\Delta //\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_P}} \left( {1;1;1} \right)\), giải phương trình \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\) và biểu diễn a theo b.

Tính độ dài AB, tìm GTNN của AB, từ đó tìm được a, b.

Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có VTCP \(\overrightarrow {AB} .\)

Giải chi tiết

Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1 + 2a;a; - 2 - a} \right) \in {d_1}\\B\left( {1 + b; - 2 + 3b;2 - 2b} \right) \in {d_2}\end{array} \right.\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {b - 2a;3b - a - 2; - 2b + a + 4} \right)\).

Vì \(\Delta //\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_P}} \left( {1;1;1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\\ \Leftrightarrow b - 2a + 3b - a - 2 - 2b + a + 4 = 0\\ \Leftrightarrow - 2a + 2b + 2 = 0 \Leftrightarrow - a + b + 1 = 0 \Leftrightarrow a = b + 1.\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {b - 2a} \right)}^2} + {{\left( {3b - a - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2b + a + 4} \right)}^2}} \\ \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {b - 2b - 2} \right)}^2} + {{\left( {3b - b - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2b + b + 1 + 4} \right)}^2}} \\ \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - b - 2} \right)}^2} + {{\left( {2b - 3} \right)}^2} + {{\left( { - b + 5} \right)}^2}} \\ \Rightarrow AB = \sqrt {6{b^2} - 18b + 38} = \sqrt {6{{\left( {b - \dfrac{3}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{125}}{4}} \\ \Rightarrow AB \ge \sqrt {\dfrac{{125}}{4}} = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow b = \dfrac{3}{2} \Rightarrow a = \dfrac{5}{2}\).

\( \Rightarrow A\left( {6;\dfrac{5}{2}; - \dfrac{9}{2}} \right),\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - \dfrac{7}{2};0;\dfrac{7}{2}} \right) = - \dfrac{7}{2}\left( { - 1;0;1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {6;\dfrac{5}{2}; - \dfrac{9}{2}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u \left( { - 1;0;1} \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - t\\y = \dfrac{5}{2}\\z = - \dfrac{9}{2} + t\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.