Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2}
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\) và điểm\(M\left( {2;2;1} \right)\). Một đường thẳng thay đổi qua \(M\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm \(A,B\). Khi biểu thức \(T = MA + 4MB\) đạt giá trị nhỏ nhất thì đoạn thẳng \(AB\) có giá trị bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\) có tâm \(I\left( {2;1;1} \right),R = 2\).
Ta có: \(IM = 1 < R \Rightarrow M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = M{A^2} + M{I^2} - 2MA.MI.\cos \widehat {{M_2}}\\I{B^2} = M{I^2} + M{B^2} - 2MI.MB.\cos \widehat {{M_1}}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^2} = M{A^2} + {1^2} - 2MA.1.\cos \alpha \\{2^2} = {1^2} + M{B^2} + 2.1.MB.\cos \alpha \end{array} \right.,\,\alpha = \angle {M_2}\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{A^2} - 2MA.\cos \alpha - 1 = 0\\M{B^2} + 2.MB.\cos \alpha - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {MA - \cos \alpha } \right)^2} = 1 + {\cos ^2}\alpha \\{\left( {MB + \cos \alpha } \right)^2} = 1 + {\cos ^2}\alpha \end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MA - \cos \alpha = \sqrt {1 + {{\cos }^2}\alpha } \,\,\,\left( {do\,MA \ge 1 \Rightarrow MA - \cos \alpha \ge 0} \right)\\MB + \cos \alpha = \sqrt {1 + {{\cos }^2}\alpha } \,\,\,\left( {do\,MB \ge 1 \Rightarrow MB + \cos \alpha \ge 0} \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MA = \cos \alpha + \sqrt {1 + {{\cos }^2}\alpha } \\MB = - \cos \alpha + \sqrt {1 + {{\cos }^2}\alpha } \end{array} \right.\,\,\\ \Rightarrow T = MA + 4MB = 5\sqrt {1 + {{\cos }^2}\alpha } - 3\cos \alpha \end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 5\sqrt {1 + {t^2}} - 3t,\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right),\) \(f'\left( t \right) = \dfrac{{5t}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} - 3 = - \dfrac{{5t - 3\sqrt {1 + {t^2}} }}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}\).
\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow 5t - 3\sqrt {1 + {t^2}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {1 + {t^2}} = 5t\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 0\\9 + 9{t^2} = 25{t^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 0\\t = \pm \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{4}\end{array}\)
Hàm số \(f\left( t \right)\) liên tục tại \(\left[ { - 1;1} \right]\), \(f\left( { - 1} \right) = 5\sqrt 2 + 3 \approx 10,07,f\left( {\dfrac{3}{4}} \right) = 4,f\left( 1 \right) = 5\sqrt 2 - 3 \approx 4,07\).
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{3}{4}} \right) = 4\).
\( \Rightarrow \min T = 4\) khi \(\cos \alpha = \dfrac{3}{4}\).
Khi đó: \(AB = MA + MB = 2\sqrt {1 + {{\cos }^2}\alpha } = 2.\sqrt {1 + {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^2}} = 2.\dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{2}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
