Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f'\left( x \right) - 3f\left( x

Câu hỏi số 623088:

Vận dụng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f'\left( x \right) - 3f\left( x \right) = \left( {2{x^2} + 1} \right){e^{{x^2} + 3x - 1}},\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 2 \right) = 2{e^9}\). Biết \(f\left( 1 \right) = a{e^b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Hệ thức nào sau đây đúng?

A. \(a + b = 5\).

B. \(a - 2b = - 4\).

C. \(a + 3b = 10\).

D. \(a - b = - 3\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623088

Phương pháp giải

Đạo hàm thương: \({\left( {\dfrac{u}{v}} \right)^\prime } = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Nguyên hàm từng phần: \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).

Giải chi tiết

Hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn

\(f'\left( x \right) - 3f\left( x \right) = \left( {2{x^2} + 1} \right){e^{{x^2} + 3x - 1}},\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right).{e^{3x}} - 3{e^{3x}}.f\left( x \right)}}{{{e^{6x}}}} = \dfrac{{\left( {2{x^2} + 1} \right){e^{{x^2} + 3x - 1}}}}{{{e^{3x}}}},\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{e^{3x}}}}} \right)^\prime } = \left( {2{x^2} + 1} \right){e^{{x^2} - 1}},\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^2 {{{\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{e^{3x}}}}} \right)}^\prime }} dx = \int\limits_1^2 {\left( {2{x^2} + 1} \right){e^{{x^2} - 1}}dx} \\ \Leftrightarrow \left. {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{e^{3x}}}}} \right|_1^2 = \int\limits_1^2 {\left( {2{x^2} + 1} \right){e^{{x^2} - 1}}} dx\end{array}\). (1)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_{}^{} {\left( {2{x^2} + 1} \right){e^{{x^2} - 1}}} dx = \int\limits_{}^{} {2{x^2}{e^{{x^2} - 1}}} dx + \int\limits_{}^{} {{e^{{x^2} - 1}}} dx = \int\limits_{}^{} x d\left( {{e^{{x^2} - 1}}} \right) + \int\limits_{}^{} {{e^{{x^2} - 1}}} dx\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x{e^{{x^2} - 1}} - \int\limits_{}^{} {{e^{{x^2} - 1}}} dx + \int\limits_{}^{} {{e^{{x^2} - 1}}} dx + C = x{e^{{x^2} - 1}} + C\end{array}\)

Khi đó: (1) \( \Leftrightarrow \left. {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{e^{3x}}}}} \right|_1^2 = \left. {x{e^{{x^2} - 1}}} \right|_1^2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( 2 \right)}}{{{e^6}}} - \dfrac{{f\left( 1 \right)}}{{{e^3}}} = 2{e^3} - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2{e^9}}}{{{e^6}}} - \dfrac{{f\left( 1 \right)}}{{{e^3}}} = 2{e^3} - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( 1 \right)}}{{{e^3}}} = 1 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = {e^3}\end{array}\).

\( \Rightarrow a = 1,b = 3\).\( \Rightarrow a + 3b = 10\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.