Tìm \(x\) nguyên, biết : a) \(\left| {3x + 12} \right| + \left| {3x - 20} \right| = 32\) b) \(6\left|

Câu hỏi số 623139:

Vận dụng

Tìm \(x\) nguyên, biết :

a) \(\left| {3x + 12} \right| + \left| {3x - 20} \right| = 32\)

b) \(6\left| {\dfrac{7}{{30}}x - \dfrac{1}{5}} \right| + \left| {1,4x + 2,8} \right| = 3\)

c) \(3\left| {2x + 5} \right| + 2\left| {3x - 8} \right| = 31\)

d) \(12\left| {x - 4} \right| + \dfrac{{24}}{5}\left| {\dfrac{5}{2}x + \dfrac{5}{6}} \right| = 52\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623139

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức : \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(ab \ge 0\)

Giải chi tiết

a) \(\left| {3x + 12} \right| + \left| {3x - 20} \right| = 32\)

Ta có: \(\left| {3x + 12} \right| + \left| {3x - 20} \right| = \left| {3x + 12} \right| + \left| {20 - 3x} \right| \ge \left| {3x + 12 + 20 - 3x} \right| = \left| {32} \right| = 32\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {3x + 12} \right)\left( {20 - 3x} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 12 \ge 0\\20 - 3x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\x \le \dfrac{{20}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow - 4 \le x \le \dfrac{{20}}{3}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 12 \le 0\\20 - 3x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 4\\x \ge \dfrac{{20}}{3}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow x \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4;5;6} \right\}\)

Vậy \( \Rightarrow x \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4;5;6} \right\}\)

b) \(6\left| {\dfrac{7}{{30}}x - \dfrac{1}{5}} \right| + \left| {1,4x + 2,8} \right| = \Leftrightarrow \left| {\dfrac{7}{5}x - \dfrac{1}{5}} \right| + \left| {1,4x + 2,8} \right| = 3\)

Ta có: \(\left| {\dfrac{7}{5}x - \dfrac{1}{5}} \right| + \left| {1,4x + 2,8} \right| = \left| {\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{5}x} \right| + \left| {1,4x + 2,8} \right| \ge \left| {\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{5}x + 1,4x + 2,8} \right| = 3\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{5}x} \right)\left( {1,4x + 2,8} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{5}x \ge 0\\1,4x + 2,8 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{1}{7}\\x \ge - 2\end{array} \right. \Rightarrow - 2 \le x \le - \dfrac{1}{7}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{5}x \le 0\\1,4x + 2,8 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{1}{7}\\x \le - 2\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow x \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\)

c) \(3\left| {2x + 5} \right| + 2\left| {3x - 8} \right| = 31\)\( \Leftrightarrow \left| {6x + 15} \right| + \left| {6x - 16} \right| = 31\)

Ta có: \(\left| {6x + 15} \right| + \left| {6x - 16} \right| = \left| {6x + 15} \right| + \left| {16 - 6x} \right| \ge \left| {6x + 15 + 16 - 6x} \right| = 31\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {6x + 15} \right)\left( {16 - 6x} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 15 \ge 0\\16 - 6x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{5}{2}\\x \le \dfrac{8}{3}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{5}{2} \le x \le \dfrac{8}{3}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 15 \le 0\\16 - 6x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{5}{2}\\x \ge \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\)

d) \(12\left| {x - 4} \right| + \dfrac{{24}}{5}\left| {\dfrac{5}{2}x + \dfrac{5}{6}} \right| = 52 \Leftrightarrow \left| {12x - 48} \right| + \left| {12x + 4} \right| = 52\)

Ta có: \(\left| {12x - 48} \right| + \left| {12x + 4} \right| = \left| {48 - 12x} \right| + \left| {12x + 4} \right| \ge \left| {48 - 12x + 12x + 4} \right| = 52\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {48 - 12x} \right)\left( {12x + 4} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}48 - 12x \ge 0\\12x + 4 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\x \ge - \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{1}{3} \le x \le 4\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}48 - 12x \le 0\\12x + 4 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \le - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link