Tìm \(x\) nguyên, biết :a) \(\left| {x - 4} \right| + \left| {x - 10} \right| + \left| {x + 101} \right| + \left|

Câu hỏi số 623140:

Vận dụng

Tìm \(x\) nguyên, biết :

a) \(\left| {x - 4} \right| + \left| {x - 10} \right| + \left| {x + 101} \right| + \left| {x + 990} \right| + \left| {x + 1000} \right| = 2004\)

b) \(\left| {x - 2005} \right| + \left| {x - 2006} \right| + \left| {x - 2007} \right| + \left| {x - 2008} \right| + 1 = 3\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623140

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức : \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(ab \ge 0\)

Giải chi tiết

a) \(\left| {x - 4} \right| + \left| {x - 10} \right| + \left| {x + 101} \right| + \left| {x + 990} \right| + \left| {x + 1000} \right| = 2004\)

Ta có: \(\left| {x - 4} \right| + \left| {x + 1000} \right| = \left| {4 - x} \right| + \left| {x + 1000} \right| \ge \left| {4 - x + x + 1000} \right| = 1004\)

\(\left| {x - 10} \right| + \left| {x + 990} \right| = \left| {10 - x} \right| + \left| {x + 990} \right| \ge \left| {10 - x + x + 990} \right| = 1000\)

\(\left| {x + 101} \right| \ge 0\)

\( \Rightarrow \left| {4 - x} \right| + \left| {x + 1000} \right| + \left| {10 - x} \right| + \left| {x + 990} \right| + \left| {x + 101} \right| \ge 1004 + 1000 + 0 \ge 2004\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {4 - x} \right)\left( {x + 1000} \right) \ge 0\\\left( {10 - x} \right)\left( {x + 990} \right) \ge 0\\x + 101 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( I \right)\left\{ \begin{array}{l}\left( {4 - x} \right)\left( {x + 1000} \right) \ge 0\left( 1 \right)\\\left( {10 - x} \right)\left( {x + 990} \right) \ge 0\left( 2 \right)\\x = - 101\end{array} \right.\)

* Xét \(\left( 1 \right)\)

+ TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}4 - x \ge 0\\x + 1000 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\x \ge - 1000\end{array} \right. \Rightarrow - 1000 \le x \le 4\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}4 - x \le 0\\x + 1000 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \le - 1000\end{array} \right.\) (Vô lí)

* Xét \(\left( 2 \right)\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}10 - x \ge 0\\x + 990 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 10\\x \ge - 990\end{array} \right. \Rightarrow - 990 \le x \le 10\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}10 - x \le 0\\x + 990 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 10\\x \le - 990\end{array} \right.\) (Vô lí)

\( \Rightarrow \left( I \right)\left\{ \begin{array}{l} - 1000 \le x \le 4\\ - 990 \le x \le 10\\x = - 101\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow x = - 101\)

Vậy \(x = - 101\) là giá trị cần tìm

b) \(\left| {x - 2005} \right| + \left| {x - 2006} \right| + \left| {x - 2007} \right| + \left| {x - 2008} \right| = 4\)

Ta có : \(\left| {x - 2005} \right| + \left| {x - 2006} \right| = \left| {x - 2005} \right| + \left| {2008 - x} \right| \ge \left| {x - 2005 + 2008 - x} \right| = 3\)

\(\left| {x - 2006} \right| + \left| {x - 2007} \right| = \left| {x - 2006} \right| + \left| {2007 - x} \right| \ge \left| {x - 2006 + 2007 - x} \right| = 1\)

\( \Rightarrow \left| {x - 2005} \right| + \left| {2008 - x} \right| + \left| {x - 2006} \right| + \left| {2007 - x} \right| \ge 3 + 1 = 4\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left( I \right)\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2005} \right)\left( {2008 - x} \right) \ge 0\left( 1 \right)\\\left( {x - 2006} \right)\left( {2007 - x} \right) \ge 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

* Xét \(\left( 1 \right)\)

+ TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2005 \ge 0\\2008 - x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2005\\x \le 2008\end{array} \right. \Rightarrow 2005 \le x \le 2008\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2005 \le 0\\2008 - x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2005\\x \ge 2008\end{array} \right.\) (Vô lí)

* Xét \(\left( 2 \right)\)

+ TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2006 \ge 0\\2007 - x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2006\\x \le 2007\end{array} \right. \Rightarrow 2006 \le x \le 2007\)

+ TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2006 \le 0\\2007 - x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2006\\x \ge 2007\end{array} \right.\) (Vô lí)

\( \Rightarrow \left( I \right)\left\{ \begin{array}{l}2005 \le x \le 2008\\2006 \le x \le 2007\end{array} \right. \Rightarrow x \in \left\{ {2006;2007} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ {2006;2007} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link