Tìm \(m,n\) nguyên dương để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - n} \right)x + 2m - 3n = 0\) có 2 nghiệm

Câu hỏi số 623234:

Vận dụng

Tìm \(m,n\) nguyên dương để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - n} \right)x + 2m - 3n = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623234

Phương pháp giải

Tính \(\Delta '\). Cho \(\Delta ' \ge 0\)

Áp dụng hệ thức viet thay vào \(x_1^2 + x_2^2 = 10\) tìm m.

Giải chi tiết

Ta có \({\rm{\Delta '}} = {m^2} + {n^2} - 2mn - 2m + 3n\)

Để pt có 2 nghiệm thì \({m^2} + {n^2} - 2mn - 2m + 3n \ge 0\) (1)

Khi đó áp dụng hệ thức Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = 2{\rm{m}} - 2{\rm{n}}\\{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = 2{\rm{m}} - 3{\rm{n}}\end{array} \right.\)

Theo đề bài \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = 10\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(2m - 2n)^2} - 2\left( {2m - 3n} \right) = 10\\ \Leftrightarrow {(2m - 2n)^2} - 2\left( {2m - 2n} \right) + 2n = 10\\ \Leftrightarrow {(2m - 2n)^2} - 2\left( {2m - 2n} \right) + 2n = 10\\ \Leftrightarrow {(2m - 2n)^2} - 2\left( {2m - 2n} \right) + 1 = 11 - 2n\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 2n - 1} \right)^2} = 11 - 2n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Do \({\left( {2m - 2n - 1} \right)^2} \ge 0\,\) với mọi m, n

\( \Rightarrow 11 - 2n \ge 0 \Leftrightarrow n \le \dfrac{{11}}{2}\)

Mà n nguyên dương nên \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\)

Với n = 1 thay vào (2) ta có \({\left( {2m - 3} \right)^2} = 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\,\,\,\,\,\,\left( {TM\,\,\left( 1 \right)} \right)\\m = 0\,\,\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Với n = 2 thay vào (2) ta có \({\left( {2m - 5} \right)^2} = 7\) không có nghiệm nguyên m

Tương tự với n = 3, n = 4 không có nghiệm nguyên m

Với n = 5 thay vào (2) ta có \(\left( {2m - 11} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {KTM\,\,\left( 1 \right)} \right)\\m = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {TM\,\,\left( 1 \right)} \right)\end{array} \right.\)

Vậy các cặp số thỏa mãn là \(\left( {m,n} \right) = \left( {3;1} \right);\left( {6;5} \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link