1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\) qua \(M\left( {\sqrt 3 ;3}

Câu hỏi số 623531:

Vận dụng

1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\) qua \(M\left( {\sqrt 3 ;3} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = - \dfrac{1}{2}x + m\) (với \(m\) là tham số). Xác định phương trình của parabol \(\left( P \right)\), từ đó tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) khác gốc tọa độ, sao cho \(\dfrac{{{y_A}}}{{{x_B}}} + \dfrac{{{y_B}}}{{{x_A}}} = \dfrac{{25}}{{16}}\).

2) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + mx + 1 = 0\) và \({x_3},{x_4}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + nx + 1 = 0\), với \(m,n\) là các tham số thỏa mãn \(\left| m \right| \ge 2,\left| n \right| \ge 2\). Chứng minh rằng: \(\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_1} + {x_4}} \right)\left( {{x_2} + {x_4}} \right) = {n^2} - {m^2}\).

3) Cho hai số \(x,y\) liên hệ với nhau bởi đẳng thức \({x^2} + 2{y^2} - 2xy + 10\left( {x - y} \right) + 21 = 0\).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x - y + 2\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623531

Phương pháp giải

Giải chi tiết

1)\(M\left( {\sqrt 3 ;3} \right) \in \left( P \right):y = a{x^2} \Leftrightarrow 3 = a{(\sqrt 3 )^2} \Leftrightarrow a = 1\)

Vậy parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) Phương trình hoành độ giao điềm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right):{x^2} = - \dfrac{1}{2}x + m\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 2m = 0\) có \({\rm{\Delta }} = 1 + 16m\)

Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) khác gốc tọa độ \( \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{{16}}\) và \(m \ne 0\).

Theo định lý Vi-et, ta có: \({x_A} + {x_B} = - \dfrac{1}{2},{x_A}{x_B} = - m\)

\(\dfrac{{{y_A}}}{{{x_B}}} + \dfrac{{{y_B}}}{{{x_A}}} = \dfrac{{25}}{{16}} \Leftrightarrow \dfrac{{x_A^2}}{{{x_B}}} + \dfrac{{x_B^2}}{{{x_A}}} = \dfrac{{25}}{{16}} \Leftrightarrow \dfrac{{x_A^3 + x_B^3}}{{{x_A} \cdot {x_B}}} = \dfrac{{25}}{{16}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^3} - 3{x_A}{x_B}\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}}{{{x_A} \cdot {x_B}}} = \dfrac{{25}}{{16}} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^3} - 3\left( { - m} \right)\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}}{{ - m}} = \dfrac{{25}}{{16}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - \dfrac{1}{8} - \dfrac{3}{2}m}}{{ - m}} = \dfrac{{25}}{{16}} \Leftrightarrow - 2 - 24m = - 25m\)

\( \Leftrightarrow m = 2\) (thỏa điều kiện).

2) Theo định lý Vi-et, ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - m}\\{{x_1}{x_2} = 1}\end{array}} \right.\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_3} + {x_4} = - n}\\{{x_3}{x_4} = 1}\end{array}} \right.\)

Ta có: \({\rm{VT}} = \left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_1} + {x_4}} \right)\left( {{x_2} + {x_4}} \right)\)

\( = \left[ {{x_1}{x_2} - {x_3}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + x_3^2} \right]\left[ {{x_1}{x_2} + {x_4}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + x_4^2} \right]\)

\( = \left( {1 + m{x_3} + x_3^2} \right)\left( {1 - m{x_4} + x_4^2} \right)\)

\( = \left( {m{x_3} - n{x_3}} \right)\left( { - m{x_4} - n{x_4}} \right)\)

\( = \left( {n - m} \right){x_3}\left( {m + n} \right){x_4}\)\( = {n^2} - {m^2} = VP\).

3) Cho hai số thực \(x,y\) liên hệ với nhau bởi đẳng thức \({x^2} + 2{y^2} - 2xy + 10\left( {x - y} \right) + 21 = 0\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x - y + 2\).

Viết lại biểu thức đã cho thành \({(x - y + 2)^2} + 6\left( {x - y + 2} \right) + 5 = - {y^2}\).

Như vậy với mọi \(x\) và mọi \(y\) ta luôn có \({S^2} + 6S + 5 \le 0\) (với \(S = x - y + 2\) )

Suy ra: \(\left( {S + 5} \right)\left( {S + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le S \le - 1\). Do đó:

Giá trị nhỏ nhất của \(S\) bằng -5 khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 7}\\{y = 0}\end{array}} \right.\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link