Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol \((P)\) có phương trình \(y = 2{x^2}\) và đường thẳng

Câu hỏi số 625069:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol \((P)\) có phương trình \(y = 2{x^2}\) và đường thẳng \((d)\) có phương trình \(y = 2x + m\) ( \(m\) là tham số).

1) Tìm \(m\) để đường thẳng \((d)\) đi qua điểm \(M( - 2;3)\).

2) Tìm điều kiện của \(m\) để parabol \((P)\) cắt đường thẳng \((d)\) tại hai điểm phân biệt. Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai giao điểm của parabol \((P)\) và đường thẳng \((d)\), xác định \(m\) để \({\left( {1 - {x_1}{x_2}} \right)^2} + 2\left( {{y_1} + {y_2}} \right) = 16\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:625069

Phương pháp giải

1) Thay tọa độ M vào (d) tìm m

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P), cho \({\Delta ^\prime } > 0\)

Áp dụng hệ thức Viet giải phương trình \({\left( {1 - {x_1}{x_2}} \right)^2} + 2\left( {{y_1} + {y_2}} \right) = 16\)

Giải chi tiết

1) Tìm \(m\) để đường thẳng \((d)\) đi qua điểm \(M( - 2;3)\).

Vì đường thẳng \((d)\) đi qua điểm \(M( - 2;3)\) suy ra \(3 = 2 \cdot ( - 2) + m\)

\( \Leftrightarrow 3 = - 4 + m \Leftrightarrow m = 7.\)

2) Phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) là:

\(2{x^2} = 2x + m \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - m = 0{\rm{ (1) }}\)

Parabol \((P)\) cắt đường thẳng \((d)\) tại hai điểm phân biệt

\( \Leftrightarrow \) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {\Delta ^\prime } > 0\)

\({\Delta ^\prime } = 1 + 2m,{\Delta ^\prime } > 0 \Leftrightarrow 1 + 2m > 0 \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{2}(*)\)

Khi đó theo định lý Viet ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 1}\\{{x_1}{x_2} = - \dfrac{m}{2}}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}{\left( {1 - {x_1}{x_2}} \right)^2} + 2\left( {{y_1} + {y_2}} \right) = 16\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - {x_1}{x_2}} \right)^2} + 2\left( {2{x_1} + m + 2{x_2} + m} \right) = 16\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {1 - {x_1}{x_2}} \right)^2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4m = 16\\ \Leftrightarrow {\left( {1 + \dfrac{m}{2}} \right)^2} + 4 + 4m = 16\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + m + \dfrac{{{m^2}}}{4} + 4 + 4m = 16\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{4} + 5m + 5 = 16\\ \Leftrightarrow {m^2} + 20m - 44 = 0\end{array}\).

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m = - 22}\end{array}} \right.\).

Đối chiếu điều kiện \((*)\), ta có \(m = 2\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link