1. Giải phương trình \({x^2} - 3x + 2 + 2\left( {2 - x} \right)\sqrt {x - 1} = 0\)2. Giải hệ phương

Câu hỏi số 625083:

Vận dụng

1. Giải phương trình \({x^2} - 3x + 2 + 2\left( {2 - x} \right)\sqrt {x - 1} = 0\)

2. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + 2{y^2} + 8x + 4y = - 1}\\{{x^2} + 7{y^2} - 4xy + 6y = 6}\end{array}} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:625083

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Cách 1. Điều kiện xác định: \(x \ge 1\).

Khi đó phương trình \( \Leftrightarrow {(x - \sqrt {x - 1} )^2} - 4\left( {x - \sqrt {x - 1} } \right) + 3 = 0\) Đặt \(t = x - \sqrt {x - 1} \), phương trình trờ thành: \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 3}\end{array}} \right.\)

Với \(t = 1\), ta có: \(x - \sqrt {x - 1} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1\left( {{\rm{TM}}} \right)}\\{x = 2\left( {{\rm{TM}}} \right)}\end{array}} \right.\)

Với \(t = 3\), ta có: \(x - \sqrt {x - 1} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{{x^2} - 7x + 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = 5\left( {TM} \right)} \right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm: \(x = 1;x = 2;x = 5\).

Cách 2:

Điều kiện xác định: \(x \ge 1\). Phương trình ban đầu tương đương với \({\rm{pt}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - 2\left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 1} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right) \cdot \sqrt {x - 1} \cdot \left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = 0}\\{\sqrt {x - 1} = 0}\\{\sqrt {x - 1} = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = 1}\\{x = {2^2} + 1 = 5}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm: \(x = 1;x = 2;x = 5\).

Cách 3:

Điều kiện xác định: \(x \ge 1\left( {{\;^{\rm{*}}}} \right)\). Ta có:

\({x^2} + 2\left( {2 - x} \right)\sqrt {x - 1} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) + 2\left( {2 - x} \right)\sqrt {x - 1} + {x^2} - 4x + 3 = 0\) (1)

Đặt \(\sqrt {x - 1} = t,\left( {t \ge 0} \right)\) phương trình (1) trờ thành

\({t^2} + 2\left( {2 - x} \right)t + {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - x + 1} \right)\left( {t - x + 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = x - 1}\\{t = x - 3}\end{array}} \right.\)

*) Vó́i \(t = {\rm{x}} - 1\) ta có

\(\sqrt {x - 1} = x - 1 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {x - 1} = 0}\\{\sqrt {x - 1} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1\left( {TM\left( {\rm{*}} \right)} \right)}\\{x = 2\left( {TM\left( {\rm{*}} \right)} \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

\(\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{x - 1 = {x^2} - 6x + 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{{x^2} - 7x + 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

*) Với \(t = {\rm{x}} - 3\) ta có

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 5}\end{array} \Leftrightarrow x = 5\left( {{\rm{TM}}\left( {\rm{*}} \right)} \right)} \right.}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm: \(x = 1;x = 2;x = 5\).

2. Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + 2{y^2} + 8x + 4y = - 1}\\{{x^2} + 7{y^2} - 4xy + 6y = 6}\end{array}} \right.\).

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được \({{\rm{x}}^2} - 5{{\rm{y}}^2} + 4{\rm{xy}} + 8{\rm{x}} - 2{\rm{y}} + 7 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {{{(x + 2\left( {y + 2} \right)]}^2} - 9{{(y + 1)}^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y + 1} \right)\left( {x + 5y + 7} \right) = 0} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y - 1}\\{x = - 5y - 7}\end{array}} \right.\)

TH1: \(x = y - 1\) vào \(\left( 1 \right)\) được: \(2{(y - 1)^2} + 2{y^2} + 8\left( {y - 1} \right) + 4y + 1 = 0 \Leftrightarrow 4{y^2} + 8y - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = - \dfrac{1}{2}}\\{y = - \dfrac{5}{2} \Rightarrow x = - \dfrac{7}{2}}\end{array}} \right.\) TH2: \(x = - 5y - 7\) vào (1) được:

\(2{(5y + 7)^2} + 2{y^2} + 8\left( { - 5y - 7} \right) + 4y + 1 = 0 \Leftrightarrow 52{y^2} + 104y + 43 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = - 1 + \dfrac{3}{{2\sqrt {13} }} \Rightarrow x = - 2 - \dfrac{{15}}{{2\sqrt {13} }}}\\{y = - 1 - \dfrac{3}{{2\sqrt {13} }} \Rightarrow x = - 2 + \dfrac{{15}}{{2\sqrt {13} }}}\end{array}} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là

\(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right);\left( { - \dfrac{7}{2};\dfrac{{ - 5}}{2}} \right);\left( { - 2 - \dfrac{{15}}{{2\sqrt {13} }}; - 1 + \dfrac{3}{{2\sqrt {13} }}} \right);\left( { - 2 + \dfrac{{15}}{{2\sqrt {13} }}; - 1 - \dfrac{3}{{2\sqrt {13} }}} \right)} \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link