1. Cho \({\rm{x}},{\rm{y}},{\rm{z}}\) là các số thực dương thỏa mãn \({\rm{x}} + 2{\rm{y}} + 3{\rm{z}} \le

Câu hỏi số 625084:

Vận dụng cao

1. Cho \({\rm{x}},{\rm{y}},{\rm{z}}\) là các số thực dương thỏa mãn \({\rm{x}} + 2{\rm{y}} + 3{\rm{z}} \le 6\). Chứng minh rằng :

\(\dfrac{1}{{{x^2} + 4{y^2} + 9{z^2}}} + \dfrac{1}{{49xy}} + \dfrac{3}{{49yz}} + \dfrac{3}{{98zx}} \ge \dfrac{9}{{49}}{\rm{.\;}}\)

2. Tìm tất cả các số nguyên dương a và các số nguyên tố \({\rm{p}}\) thỏa mãn \({{\rm{a}}^2} = 7{{\rm{p}}^4} + 9\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:625084

Phương pháp giải

Giải chi tiết

1. Đặt \(P = \dfrac{1}{{{x^2} + 4{y^2} + 9{z^2}}} + \dfrac{1}{{49xy}} + \dfrac{3}{{49yz}} + \dfrac{3}{{98zx}}\)

Cách 1. Đặt \(a = x;b = 2y;c = 3z\). Khi đó \(a + b + c \le 6\)

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{xy = \dfrac{{ab}}{2}}\\{yz = \dfrac{{bc}}{6}}\\{zx = \dfrac{{ca}}{3}}\end{array}} \right.\).

Khi đó biểu thức \({\rm{P}}\) trở thành \({\rm{P}} = \dfrac{1}{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}}} + \dfrac{2}{{49{\rm{ab}}}} + \dfrac{{18}}{{49{\rm{bc}}}} + \dfrac{9}{{98{\rm{ca}}}}\).

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{{{{\left( {{{\rm{a}}_1}} \right)}^2}}}{{{\rm{\;}}{{\rm{b}}_1}}} + \dfrac{{{{\left( {{{\rm{a}}_2}} \right)}^2}}}{{{\rm{\;}}{{\rm{b}}_2}}} + \dfrac{{{{\left( {{{\rm{a}}_3}} \right)}^2}}}{{{\rm{\;}}{{\rm{b}}_3}}} + \dfrac{{{{\left( {{{\rm{a}}_4}} \right)}^2}}}{{{\rm{\;}}{{\rm{b}}_4}}} \ge \dfrac{{{{\left( {{{\rm{a}}_1} + {{\rm{a}}_2} + {{\rm{a}}_3} + {{\rm{a}}_4}} \right)}^2}}}{{{\rm{\;}}{{\rm{b}}_1} + {{\rm{b}}_2} + {{\rm{b}}_3} + {{\rm{b}}_4}}}\),

với \({{\rm{a}}_1},{a_2},{{\rm{a}}_3},{{\rm{a}}_4},{\rm{\;}}{{\rm{b}}_1},{\rm{\;}}{{\rm{b}}_2},{\rm{\;}}{{\rm{b}}_3},{\rm{\;}}{{\rm{b}}_4}\) là các số thực và \({{\rm{b}}_1},{\rm{\;}}{{\rm{b}}_2},{\rm{\;}}{{\rm{b}}_3},{\rm{\;}}{{\rm{b}}_4} > 0\).

Dáu bằng xảy ra khi \(\dfrac{{{{\rm{a}}_1}}}{{{\rm{\;}}{{\rm{b}}_1}}} = \dfrac{{{{\rm{a}}_2}}}{{{\rm{\;}}{{\rm{b}}_2}}} = \dfrac{{{{\rm{a}}_3}}}{{{\rm{\;}}{{\rm{b}}_3}}} = \dfrac{{{{\rm{a}}_4}}}{{{\rm{\;}}{{\rm{b}}_4}}}\)

Ta có

\(P = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{\dfrac{4}{{49}}}}{{2ab}} + \dfrac{{\dfrac{{36}}{{49}}}}{{2bc}} + \dfrac{{\dfrac{9}{{49}}}}{{2ca}} \ge \dfrac{{{{\left( {1 + \dfrac{2}{7} + \dfrac{6}{7} + \dfrac{3}{7}} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca}}\)

\( = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{18}}{7}} \right)}^2}}}{{{{(a + b + c)}^2}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{18}}{7}} \right)}^2}}}{{36}} = \dfrac{9}{{49}}\)

2. Kiểm tra \({\rm{p}} = 2\). Khi đó \({{\rm{a}}^2} = {7.2^4} + 9 = 121 \Rightarrow {\rm{a}} = 11\)

Kiểm tra \({\rm{p}} = 3\). Khi đó \({{\rm{a}}^2} = {7.3^4} + 9 = 576 \Rightarrow {\rm{a}} = 24\)

Giả sử tồn tại số nguyên dương \({\rm{a}}\) và số nguyên tố \({\rm{p}}\) thỏa mãn ycbt.

Ta có \({{\rm{a}}^2} = 7{{\rm{p}}^4} + 9 \Rightarrow {{\rm{a}}^2} - 9 = 7{p^4} \Rightarrow \left( {a + 3} \right)\left( {a - 3} \right) = 7{p^4}\left( {p \ge 5} \right)\) (1)

Trường hơp 1: Nếu \(\left( {{\rm{a}} + 3} \right) \vdots 7 \Rightarrow {\rm{a}} = 7{\rm{\;b}} - 3\)

Khi đó thay vào (1) ta có: 7.p \({p^4} = 7b\left( {7b - 6} \right) \Rightarrow {p^4} = b\left( {7b - 6} \right)\)

\({\rm{Vi}}\)\({a^2} = 7{p^4} + 9 \ge {7.5^4} + 9 = 4384 \Rightarrow a \ge 67 \Rightarrow 7b - 3 \ge 67 \Leftrightarrow b \ge 10\)\( \Rightarrow {\rm{b}} = {{\rm{p}}^{\rm{m}}}\left( {1 \le {\rm{m}} \le 4} \right)\)

Suy ra \({p^4} = {p^m}\left( {7{p^m} - 6} \right) \Rightarrow {p^{4 - m}} = 7 \cdot {p^m} - 6 \Rightarrow 6\) :p (loại do \(p \ge 5\) )

Trường hơp 2: Nếu \(\left( {{\rm{a}} - 3} \right) \vdots 7 \Rightarrow {\rm{a}} = 7{\rm{\;b}} + 3\)

Khi đó thay vào (1) ta có: 7. \({p^4} = 7b\left( {7b + 6} \right) \Rightarrow {p^4} = b\left( {7b + 6} \right)\)

Vi \({a^2} = 7{p^4} + 9 \ge {7.5^4} + 9 = 4384 \Rightarrow a \ge 67 \Rightarrow 7b + 3 \ge 67 \Rightarrow b \ge 10\) \( \Rightarrow {\rm{b}} = {{\rm{p}}^{\rm{m}}}\left( {1 \le {\rm{m}} \le 4} \right)\).

Suy ra \({p^4} = {p^m}\left( {7{p^m} + 6} \right) \Rightarrow {p^{4 - m}} = 7 \cdot {p^m} + 6 \Rightarrow 6 \vdots p(\) loại do \(p \ge 5)\)

Vậy có hai cặp số \(\left( {a;p} \right)\) cần tìm là \(\left( {11;2} \right);\left( {24;3} \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link