Cho hàm số có đồ thị (Cm). Tìm các giá trị của m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d): x+2y-3= 0

Câu hỏi số 62544:

Cho hàm số $\dpi{80} y=f(x)=\frac{1}{3}mx^{3}+(m-1)x^{2}+(4-3m)x+1$ có đồ thị

(Cm). Tìm các giá trị của m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d): x+2y-3= 0

A. $\dpi{100} \left [ \begin{matrix} m\leq 0 & \\ m>\frac{2}{3} & \end{matrix}$ ( gt là dấu > )

B. m < 2/3

C. $\dpi{100} \left [ \begin{matrix} m<0 & \\ m> \frac{2}{3} & \end{matrix}$ ( lt là dấu < ; gt là dấu > )

D. Không có giá trị nào của m

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:62544

Giải chi tiết

Gọi $M(x_{0};y_{0})$ là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán ( $x_{0}<0$ )

Có y' = f' (x) = $\dpi{100} mx^{2}+2(m-1)x+4-3m$ (0,25 đ)

=> Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là :

$\dpi{100} f'(x_{0})=mx_{0}^{2}+2(m-1)x_{0}+4-3m$ (0,25 đ)

Có d : x+2y-3= 0

=> $\dpi{100} y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$

=> Hệ số góc của đường thẳng d là $\dpi{100} -\frac{1}{2}$

Do tiếp tuyến vuông góc với d => $\dpi{100} f'(x_{0}).(-\frac{1}{2})=-1$ (0,5 đ)

<=> $\dpi{100} mx_{0}^{2}+2(m-1)x_{0}+2-3m=0 (1)$ (0,25 đ)

Để trên đồ thị (Cm) tồn tại 1 điểm M duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với d <=> phương trình (1) có 1 nghiệm âm (0,25 đ)

<=> xảy ra các trường hợp sau:

+) TH1: a =0 <=> m=0 thay vào phương trình: $\dpi{100} -2x_{0}+2=0$

<=> $\dpi{100} x_{0}=1$ > 0 ( Loại ) => m = 0 Loại (0,5 đ)

+) TH2 : Phương trình (1) có nghiệm kép < 0

<=> $\dpi{100} \left\{\begin{matrix} m\neq 0 & \\ \Delta '=(m-1)^{2}-m(2-3m)=0; -\frac{(m-1)}{m}<0 & \end{matrix}\right.$

=> Không tồn tại giá trị nào của m (0,5 đ)

+) TH3: Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $\dpi{100} x_{0_{1}}<0<x_{0_{2}}$

<=> $\dpi{100} \left\{\begin{matrix} a\neq 0 & \\ P<0 & \end{matrix}\right.$

<=> $\dpi{100} \left [ \begin{matrix} m<0 & \\ m> \frac{2}{3} & \end{matrix}$ (0,5 đ)

( Chú ý lt nghĩa là dấu < ; gt nghĩa là dấu > )

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.