Cho hai số dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + 2b = 1\). Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{3}{{{a^2} +

Câu hỏi số 625613:

Vận dụng cao

Cho hai số dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + 2b = 1\). Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{3}{{{a^2} + 4{b^2}}} \ge 14\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:625613

Phương pháp giải

Chứng minh bổ đề : \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\)

Giải chi tiết

Chứng minh bổ đề : \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\) với mọi số \(x > 0,y > 0\) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = y\).

Ta có \(P = \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{3}{{{a^2} + 4{b^2}}} = 3\left( {\dfrac{1}{{4ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + 4{b^2}}}} \right) + \dfrac{1}{{4ab}} \ge \dfrac{{12}}{{4ab + {a^2} + 4{b^2}}} + \dfrac{1}{{4ab}}\)

\(P \ge \dfrac{{12}}{{{{(a + 2b)}^2}}} + \dfrac{2}{{4.a.(2b)}} \ge \dfrac{{12}}{{{{(a + 2b)}^2}}} + \dfrac{2}{{{{(a + 2b)}^2}}}\)

Theo giả thiết thì \(a + 2b = 1\) nên \(P \ge 14\) (đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4ab = {a^2} + 4{b^2}}\\{a = 2b}\\{a + 2b = 1}\\{a > 0,b > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \dfrac{1}{2}}\\{b = \dfrac{1}{4}}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link