Cho đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 3{\rm{\;cm}}\). Gọi \(A,B\) là hai điểm phân biệt cố

Câu hỏi số 625612:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 3{\rm{\;cm}}\). Gọi \(A,B\) là hai điểm phân biệt cố định trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) ( \(AB\) không là đường kính). Trên tia đối của tia \(BA\) lấy một điểm \(M(M\) khác \(B)\). Qua \(M\) kẻ hai tiếp tuyến \(MC,MD\) với đường tròn đã cho ( \(C,D\) là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác \(OCMD\) nội tiếp trong một đường tròn.

b) Đoạn thẳng \(OM\) cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại điểm \(E\). Chứng minh rằng khi \(\widehat {CMD} = {60^ \circ }\) thì \(E\) là trọng tâm của tam giác \(MCD\).

c) Gọi \(N\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(O\). Đường thẳng đi qua \(O\) vuông góc với \(MN\) cắt các tia \(MC,MD\) lần lượt tại các điểm \(P\) và \(Q\). Khi \(M\) di động trên tia đối của tia \(BA\), tìm vị trí của điểm \(M\) để tứ giác \(MPNQ\) có diện tích nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:625612

Phương pháp giải

a) Tổng hai góc đối bằng 180⁰

b) Dùng tính chất của các góc nội tiếp suy ra CE là tia phân giác của \(\angle MCD\) kết hợp tia MO là tia phân giác của góc \(\angle CMD\) suy ra \(E\) là trọng tâm của tam giác \(MCD\).

c) Chứng minh \({S_{MPNQ}}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(PC + CM\) nhỏ nhất sau đó áp dụng Cauchy.

Giải chi tiết

Ta có \(\widehat {OCM} = {90^^\circ }\);

Ta có \(\widehat {ODM} = {90^^\circ }\).

Xét tứ giác OCMD có \(\angle OCM + \angle ODM = {180^^\circ }\) và \(\angle OCM,\angle ODM\) là hai góc đối nhau.

Kết luận tứ giác OCMD nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Vì \(\angle CMD = {60^^\circ }\) và \(MC = MD\) nên tam giác MCD là tam giác đều.

Ta có tia MO là tia phân giác của góc \(\angle CMD\) (theo tính chất tiếp tuyến) (1).

Chỉ ra \(E\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(CD\)

\( \Rightarrow \angle DCE = \dfrac{1}{2}sd\,\,DE = \dfrac{1}{2}\;{\rm{s}}dCE = \angle MCE\) (Tính chất góc nội tiếp và góc tạo bời tiếp tuyến và dây cung).

Suy ra CE là tia phân giác của \(\angle MCD\) (2).

Từ (1) và (2), ta được \(E\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

Mặt khác, do tam giác MCD dều nên \(E\) là trọng tâm tam giác \(MCD\) (đpcm).

c) Do \(N\) đối xứng với \(M\) qua \(O\) và PQ vuông góc với MN tại \(O\) nên \({S_{MPQ}} = 2{S_{MPQ}}(3)\)

Ta có tam giác MPQ cân tại \(M\), có MO là đường cao nên diện tích tam giác MPQ là \({S_{MPQ}} = 2 \cdot {S_{MOP}} = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot OC \cdot PM = R \cdot PM = 3(PC + CM)(4)\).

Từ (3) và (4), ta được: \({S_{MPNQ}} = 6(PC + CM)\).

Do đó \({S_{MPNQ}}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(PC + CM\) nhỏ nhất.

Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OPM, ta có \(PC.CM = O{C^2} = 9\).

Theo bất đẳng thức Côsi thì \(PC + CM\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(PC = CM = 3\;{\rm{cm}}\).

Khi đó \(OM = 3\sqrt 2 \;{\rm{cm}}\).

Vậy điểm \(M\) cần tìm là giao điểm của đường tròn tâm \(O\), bán kính \(3\sqrt 2 \;{\rm{cm}}\) với tia đối của tia B A.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link