Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R},f\left( 0 \right) = 0,f'\left( 0

Câu hỏi số 626120:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R},f\left( 0 \right) = 0,f'\left( 0 \right) \ne 0\) và thỏa mãn hệ thức \(2f\left( x \right).f'\left( x \right) + 18{x^2} - \left( {2{x^2} + 3x} \right)f'\left( x \right) = \left( {4x + 3} \right)f\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\cos f\left( x \right)dx} = - \dfrac{{a\pi + b}}{6}\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị \(S = 2022a - 2023b\)?

A. \(S = 2021\).

B. \(S = 2023\).

C. \(S = 2022\).

D. \(S = 2020\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:626120

Phương pháp giải

Nguyên hàm hai vế.

Sử dụng nguyên hàm từng phần.

Giải chi tiết

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R},f\left( 0 \right) = 0,f'\left( 0 \right) \ne 0\) và thỏa mãn hệ thức

\(2f\left( x \right).f'\left( x \right) + 18{x^2} - \left( {2{x^2} + 3x} \right)f'\left( x \right) = \left( {4x + 3} \right)f\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Rightarrow \int {\left[ {2f\left( x \right).f'\left( x \right) + 18{x^2} - \left( {2{x^2} + 3x} \right)f'\left( x \right)} \right]dx} = \int {\left( {4x + 3} \right)f\left( x \right)dx} \).

\( \Leftrightarrow \int {2f\left( x \right).f'\left( x \right)dx} + 6{x^3} - \int {\left( {2{x^2} + 3x} \right)f'\left( x \right)dx = } \int {\left( {4x + 3} \right)f\left( x \right)dx} \).

\( \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) + 6{x^3} - \int {\left( {2{x^2} + 3x} \right)d\left( {f\left( x \right)} \right) = } \int {\left( {4x + 3} \right)f\left( x \right)dx} \).

\( \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) + 6{x^3} - \left( {2{x^2} + 3x} \right)f\left( x \right) + \int {f\left( x \right)d\left( {2{x^2} + 3x} \right) = } \int {\left( {4x + 3} \right)f\left( x \right)dx} \).

\( \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) + 6{x^3} - \left( {2{x^2} + 3x} \right)f\left( x \right) + \int {\left( {4x + 3} \right)f\left( x \right)dx = } \int {\left( {4x + 3} \right)f\left( x \right)dx} \).

\( \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - \left( {2{x^2} + 3x} \right)f\left( x \right) + 6{x^3} = 0 \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - 2{x^2}f\left( x \right) - 3xf\left( x \right) + 6{x^3} = 0\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 2{x^2}} \right) - 3x\left( {f\left( x \right) - 2{x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {f\left( x \right) - 2{x^2}} \right)\left( {f\left( x \right) - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{x^2}\\f\left( x \right) = 3x\end{array} \right.\).

+) \(f\left( x \right) = 2{x^2} \Rightarrow f'\left( x \right) = 4x \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \) Loại.

+) \(f\left( x \right) = 3x \Rightarrow f'\left( x \right) = 3 \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 3 \ne 0\): Thỏa mãn.

Khi đó: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\cos f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {3x\cos 3xdx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {xd\sin 3x} = \left. {x\sin 3x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin 3xdx} = \left. {\left( {x\sin 3x + \dfrac{1}{3}\cos 3x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}}\)

\( = \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) - \left( {\dfrac{1}{3}} \right) = - \dfrac{{3\pi + 2}}{6} \Rightarrow a = 3,b = 2 \Rightarrow \)\(S = 2022a - 2023b = 2020\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.