Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{{e^x} + 1}}} = a + b\ln \dfrac{{e + 1}}{2}\), với a, b là các

Câu hỏi số 627452:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{{e^x} + 1}}} = a + b\ln \dfrac{{e + 1}}{2}\), với a, b là các số nguyên. Tính \(S = {a^3} + {b^3}\).

A. \(S = 1\).

B. \(S = 0\).

C. \(S = - 2\).

D. \(S = 2\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627452

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = {e^x} + 1.\)

Giải chi tiết

Đặt \(t = {e^x} + 1 \Rightarrow dt = {e^x}dx \Rightarrow dx = \dfrac{{dt}}{{t - 1}}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = 1 \Rightarrow t = e + 1\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{{e^x} + 1}}} = \int\limits_2^{e + 1} {\dfrac{{dt}}{{\left( {t - 1} \right)t}}} \\ = \int\limits_2^{e + 1} {\left( {\dfrac{1}{{t - 1}} - \dfrac{1}{t}} \right)dt} \\ = \left. {\left( {\ln \left| {t - 1} \right| - \ln \left| t \right|} \right)} \right|_2^{e + 1}\\ = \ln \left| e \right| - \ln \left| {e + 1} \right| - \ln 1 + \ln 2\\ = 1 - \ln \dfrac{{e + 1}}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow a = 1,\,\,b = - 1 \Rightarrow S = {a^3} + {b^3} = {1^3} + {\left( { - 1} \right)^3} = 0.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.