Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm E(1;1;1), mặt phẳng \((P):x - 3y + 5z - 3 =

Câu hỏi số 627451:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm E(1;1;1), mặt phẳng $(P):x - 3y + 5z - 3 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua E, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2. Phương trình đường thẳng $\Delta $ là

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$

B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.$

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = - 3 + t}\\{z = 5 + t}\end{array}} \right.$

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627451

Phương pháp giải

Đặt $d = d\left( {O,\Delta } \right)$. Tính d.

Gọi $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {a;b;c} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0} \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta $. Tính $d\left( {O,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OE} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}$.

Giải phương trình $\dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OE} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = d$ tìm a, b, c.

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0), bán kính R = 2.

Đặt $d = d\left( {O,\Delta } \right)$ ta có ${d^2} = {R^2} - {\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} = {2^2} - {1^2} = 3 \Rightarrow d = \sqrt 3 $.

Gọi $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {a;b;c} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0} \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta $.

Ta có $d\left( {O,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OE} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {c - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - a} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$.

Mà $\Delta \subset \left( P \right) \Rightarrow a - 3b + 5c = 0 \Leftrightarrow a = 3b - 5c$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {O,\Delta } \right) = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {c - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - a} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow {\left( {c - b} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - a} \right)^2} = 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow a + b + c = 0\\ \Leftrightarrow 3b - 5c + b + c = 0\\ \Leftrightarrow 4b - 4c = 0\\ \Leftrightarrow b = c\end{array}$

Chọn $b = c = -1 => a = 2$.

$ \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2; - 1; - 1} \right) \Rightarrow \Delta :\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.