Cho hàm số \(f(x)\) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\), thỏa mãn \(f(0)

Câu hỏi số 627457:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\), thỏa mãn \(f(0) = \sqrt 3 \) và \(f(x).f'(x) = \sqrt {1 + {f^2}(x)} .\cos x,\) \(\forall x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\). Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \(\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right]\).

A. \(m = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2},M = \sqrt 3 \).

B. \(m = \sqrt 3 ,M = 2\sqrt 2 \).

C. \(m = \dfrac{5}{2},M = 3\)

D. \(m = \dfrac{{\sqrt {21} }}{2},M = 2\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627457

Phương pháp giải

Biến đổi \(f(x).f'(x) = \sqrt {1 + {f^2}(x)} .\cos x \Leftrightarrow \dfrac{{f(x).f'(x)}}{{\sqrt {1 + {f^2}(x)} }} = \cos x\), sử dụng \(\left( {\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} } \right)' = \dfrac{{f\left( x \right)f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}\), từ đó tìm f(x)

Sử dụng \(f(0) = \sqrt 3 \) tìm hàm f(x) tường minh.

Đánh giá và tìm GTLN, GTNN của hàm số.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f(x).f'(x) = \sqrt {1 + {f^2}(x)} .\cos x \Leftrightarrow \dfrac{{f(x).f'(x)}}{{\sqrt {1 + {f^2}(x)} }} = \cos x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2f(x).f'(x)}}{{2\sqrt {1 + {f^2}(x)} }} = \cos x \Leftrightarrow \left( {\sqrt {1 + {f^2}(x)} } \right)' = \cos x\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}(x)} = \int {\cos xdx} = \sin x + C\end{array}\)

Thay x = 0 ta cos \(\sqrt {1 + {f^2}\left( 0 \right)} = \sin 0 + C \Leftrightarrow C = 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {1 + {f^2}(x)} = \sin x + 2 \Leftrightarrow 1 + {f^2}(x) = {\left( {\sin x + 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = {\left( {\sin x + 2} \right)^2} - 1 \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2} - 1} \end{array}\)

Với \(x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \sin x \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right] \Rightarrow \sin x + 2 \in \left[ {\dfrac{5}{2};3} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sin x + 2} \right)^2} \in \left[ {\dfrac{{25}}{4};9} \right] \Rightarrow {\left( {\sin x + 2} \right)^2} - 1 \in \left[ {\dfrac{{21}}{4};8} \right]\\ \Rightarrow f\left( x \right) \in \left[ {\dfrac{{\sqrt {21} }}{2};2\sqrt 2 } \right]\end{array}\).

Vậy \(M = 2\sqrt 2 ,\,\,m = \dfrac{{\sqrt {21} }}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.