Biết \(\int\limits_2^3 {\ln \left( {{x^3} - 3x + 2} \right){\rm{d}}x} = a\ln 5 + b\ln 2 + c\), với \(a,b,c

Câu hỏi số 627458:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_2^3 {\ln \left( {{x^3} - 3x + 2} \right){\rm{d}}x} = a\ln 5 + b\ln 2 + c\), với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\). Tính \(S = a.b + c\).

A. \(S = - 2\).

B. \(S = 12\).

C. \(S = - 23\).

D. \(S = 60\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627458

Phương pháp giải

Phân tích \(\int\limits_2^3 {\ln \left( {{x^3} - 3x + 2} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x + 2} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \int\limits_2^3 {\left[ {\ln \left( {x + 2} \right) + \ln {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} \).

Sử dụng tích phân từng phần.

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_2^3 {\ln \left( {{x^3} - 3x + 2} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x + 2} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}{\rm{d}}x} \)

\( = \int\limits_2^3 {\left[ {\ln \left( {x + 2} \right) + \ln {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x + 2} \right)dx} + 2\int\limits_2^3 {\ln \left( {x - 1} \right)dx} \)

Xét \(A = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x + 2} \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right) \Rightarrow du = \dfrac{1}{{x + 2}}dx\\dv = dx \Rightarrow v = x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left. {x\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_2^3 - \int\limits_2^3 {\dfrac{x}{{x + 2}}dx} = 3\ln 5 - 2\ln 4 - \int\limits_2^3 {\left( {1 - \dfrac{2}{{x + 2}}} \right)dx} \\ = 3\ln 5 - 4\ln 2 - \left. {\left( {x - 2\ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_2^3 = 3\ln 5 - 4\ln 2 - \left( {3 - 2\ln 5 - 2 + 2\ln 4} \right)\\ = 3\ln 5 - 4\ln 2 - 3 + 2\ln 5 + 2 - 4\ln 2 = 5\ln 5 - 8\ln 2 - 1\end{array}\)

Xét \(B = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x - 1} \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x - 1} \right) \Rightarrow du = \dfrac{1}{{x - 1}}dx\\dv = dx \Rightarrow v = x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left. {x\ln \left( {x - 1} \right)} \right|_2^3 - \int\limits_2^3 {\dfrac{x}{{x - 1}}dx} = 3\ln 2 - \int\limits_2^3 {\left( {1 + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)dx} \\ = 3\ln 2 - \left. {\left( {x + \ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_2^3 = 3\ln 2 - \left( {3 + \ln 2 - 2} \right) = 2\ln 2 - 1\end{array}\)

Vậy \(\int\limits_2^3 {\ln \left( {{x^3} - 3x + 2} \right){\rm{d}}x} = 5\ln 5 - 8\ln 2 - 1 + 2\left( {2\ln 2 - 1} \right) = 5\ln 5 - 4\ln 2 - 3\)

\( \Rightarrow a = 5,\,\,b = - 4,\,\,c = - 3 \Rightarrow S = a.b + c = 5.\left( { - 4} \right) + \left( { - 3} \right) = - 23.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.