Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(1;1;1)\) cắt các tia Ox, Oy, Oz

Câu hỏi số 627478:

Vận dụng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(1;1;1)\) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi đó \(a + 2b + 3c\) bằng:

A. 21 .

B. 12 .

C. 18 .

D. 15 .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627478

Phương pháp giải

Tính \({V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}abc\).

Viết phương trình mặt phẳng (ABC): Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) là \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Thay toạ độ điểm M(1;1;1) vào phương trình mặt phẳng (ABC).

Sử dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có: \({V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}OA.OB.OC = \dfrac{1}{6}abc\).

Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Vì \(M \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{c}}} = \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{abc}}}}\\ \Rightarrow \sqrt[3]{{abc}} \ge 3 \Leftrightarrow abc \ge 27 \Rightarrow V \ge \dfrac{9}{2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 3\).

Vậy \(a + 2b + 3c = 3 + 6 + 9 = 18.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.