Trong không gian Oxxyz, cho hai điểm A(3;1;-3), B(0;-2;3) và mặt cầu \((S)\) có phương trình \({(x + 1)^2} + {y^2} + {(z - 3)^2} = 1\). Xét điểm \(M\) thay đổi thuộc mặt cầu \((S)\), giá trị lớn nhất của biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng

Câu 633217: Trong không gian Oxxyz, cho hai điểm A(3;1;-3), B(0;-2;3) và mặt cầu \((S)\) có phương trình \({(x + 1)^2} + {y^2} + {(z - 3)^2} = 1\). Xét điểm \(M\) thay đổi thuộc mặt cầu \((S)\), giá trị lớn nhất của biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng

A. 102.

B. 78.

C. 84.

D. 52.

Câu hỏi : 633217

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Gọi I là điểm thoả mãn \(\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \), tìm toạ độ điểm I.

Phân tích \(P = M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\), rút gọn.

Biện luận: P đạt giá trị lớn nhất khi MI đạt giá trị lớn nhất, \(M{I_{\max }} = IJ + R,\) với J, R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S).

Đáp án : C
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi I là điểm thoả mãn \(\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I = \dfrac{{A + 2B}}{{1 + 2}} \Rightarrow I\left( {1; - 1;1} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\P = 3M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} } \right)\\P = 3M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2}\end{array}\)
Vì I, A, B cố định nên \(I{A^2} + 2I{B^2}\) không đổi.
=> P đạt giá trị lớn nhất khi MI đạt giá trị lớn nhất.
Mặt cầu (S) \({(x + 1)^2} + {y^2} + {(z - 3)^2} = 1\) có tâm J(-1;0;3), bán kính R = 1.
Với M thuộc (S) thì \(M{I_{\max }} = IJ + R = \sqrt {4 + 1 + 4} + 1 = 4.\)
Vậy \({P_{\max }} = {3.4^2} + 24 + 2.6 = 84.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.