Trong không gian Oxxyz, cho hai điểm A(3;1;-3), B(0;-2;3) và mặt cầu \((S)\) có phương trình \({(x + 1)^2}

Câu hỏi số 633217:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxxyz, cho hai điểm A(3;1;-3), B(0;-2;3) và mặt cầu \((S)\) có phương trình \({(x + 1)^2} + {y^2} + {(z - 3)^2} = 1\). Xét điểm \(M\) thay đổi thuộc mặt cầu \((S)\), giá trị lớn nhất của biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng

A. 102.

B. 78.

C. 84.

D. 52.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633217

Phương pháp giải

Gọi I là điểm thoả mãn \(\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \), tìm toạ độ điểm I.

Phân tích \(P = M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\), rút gọn.

Biện luận: P đạt giá trị lớn nhất khi MI đạt giá trị lớn nhất, \(M{I_{\max }} = IJ + R,\) với J, R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S).

Giải chi tiết

Gọi I là điểm thoả mãn \(\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I = \dfrac{{A + 2B}}{{1 + 2}} \Rightarrow I\left( {1; - 1;1} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\P = 3M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} } \right)\\P = 3M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2}\end{array}\)

Vì I, A, B cố định nên \(I{A^2} + 2I{B^2}\) không đổi.

=> P đạt giá trị lớn nhất khi MI đạt giá trị lớn nhất.

Mặt cầu (S) \({(x + 1)^2} + {y^2} + {(z - 3)^2} = 1\) có tâm J(-1;0;3), bán kính R = 1.

Với M thuộc (S) thì \(M{I_{\max }} = IJ + R = \sqrt {4 + 1 + 4} + 1 = 4.\)

Vậy \({P_{\max }} = {3.4^2} + 24 + 2.6 = 84.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.