Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn: \(f(x) + f\left(

Câu hỏi số 633218:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn: \(f(x) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(f(0) = 0\). Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf'(x)dx} \).

A. \(I = \dfrac{\pi }{4}\).

B. \(I = - \dfrac{\pi }{4}\).

C. \(I = \dfrac{1}{4}\).

D. \(I = - \dfrac{1}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633218

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân từng phần tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf'(x)dx} \).

Thay x = 0 vào giả thiết tìm \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Lấy tích phân hai vế \(f(x) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x,\forall x \in \mathbb{R}\) từ 0 đến \(\dfrac{\pi }{2}\), sử dụng phương pháp đổi biến số tìm \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết

Xét \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf'(x)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(I = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \dfrac{\pi }{2}f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \,\,\left( * \right)\).

+) Theo bài ra ta có: \(f(x) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x.\cos xdx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx} = \left. { - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\cos 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx} = - \dfrac{1}{4}\left( {\cos \pi - \cos 0} \right) = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Xét \(J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx} \)

Đặt \(t = \dfrac{\pi }{2} - x \Rightarrow dt = - dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow J = - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \).

Thay vào (**) \( \Rightarrow 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4}\).

+) Thay x = 0 vào \(f(x) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x,\forall x \in \mathbb{R}\) ta có:

\(f\left( 0 \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin 0.\cos 0 \Leftrightarrow 0 + f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0\).

Thay vào (*) ta có: \(I = \dfrac{\pi }{2}.0 - \dfrac{1}{4} = - \dfrac{1}{4}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.