Hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa

Câu hỏi số 633896:

Vận dụng

Hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x) + x \cdot f'(x) + f'(x) = 4{x^3} - 6{x^2} - 2x + 4$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = f(x),y = {f^\prime }(x)$?

A. $S = 8$.

B. $S = 4$.

C. $S = 8\pi $.

D. $S = 4\pi $.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633896

Phương pháp giải

Biến đổi $f(x) + x \cdot f'(x) + f'(x) = 4{x^3} - 6{x^2} - 2x + 4$ về dạng $4 x^3-6 x^2-2 x+4=[(x+1) f(x)]'$ từ đó lấy nguyên hàm 2 vế tìm hàm $f(x)$ từ đó tính diện tích bằng tích phân.

Giải chi tiết

Ta có $f(x)+x . f^{\prime}(x)+f^{\prime}(x)=f(x)+(x+1) f^{\prime}(x)=[(x+1) f(x)]^{\prime}$

Nên $f(x)+x . f^{\prime}(x)+f^{\prime}(x)=4 x^3-6 x^2-2 x+4 \Leftrightarrow 4 x^3-6 x^2-2 x+4=[(x+1) f(x)]^{\prime}$ $\Rightarrow(x+1) f(x)=x^4-2 x^3-x^2+4 x+C$ (1)

Thay $x=-1$ vào (1) ta được $C-2=0 \Leftrightarrow C=2$. Suy ra $(x+1) f(x)=x^4-2 x^3-x^2+4 x+2$ $\Rightarrow f(x)=x^3-3 x^2+2 x+2$

Xét phương trình $x^3-3 x^2+2 x+2=3 x^2-6 x+2 \Leftrightarrow x^3-6 x^2+8 x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=2 \\ x=4\end{array}\right.$

$\Rightarrow S=\int_0^4\left|x^3-6 x^2+8 x\right| \mathrm{d} x=8$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.