Chứng minh rằnga) \(A = {x^2} - {x^9} - {x^{1945}}\) chia hết cho \(B = {x^2} - x + 1\)b) \(C = 8{x^9} - 9{x^8} +

Câu hỏi số 634364:

Vận dụng

Chứng minh rằng

a) \(A = {x^2} - {x^9} - {x^{1945}}\) chia hết cho \(B = {x^2} - x + 1\)

b) \(C = 8{x^9} - 9{x^8} + 1\) chia hết cho \(D = {(x - 1)^2}\)

c) \(C(x) = {(x + 1)^{2n}} - {x^{2n}} - 2x - 1\) chia hết cho \(D(x) = x(x + 1)(2x + 1)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634364

Phương pháp giải

Chứng minh các nghiệm của \(g\left( x \right)\) đều là nghiệm của \(f\left( x \right)\)

Giải chi tiết

a) \(A = {x^2} - {x^9} - {x^{1945}} = \left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {{x^9} + 1} \right) - \left( {{x^{1942}} - x} \right)\)

Ta có: \({x^2} - x + 1\) chia hết cho \(B = {x^2} - x + 1\)

\({x^9} + 1\) chia hết cho \({x^3} + 1\) nên chia hết cho \(B = {x^2} - x + 1\)

\({x^{1945}} - x = x\left( {{x^{1944}} - 1} \right)\) chia hết cho \({x^3} + 1\) (cùng có nghiệm là \(x = - 1\) )

\( \Rightarrow \) chia hết cho \(B = {x^2} - x + 1\)

Vậy \(A = {x^2} - {x^9} - {x^{1945}}\) chia hết cho \(B = {x^2} - x + 1\)

b) \(C = 8{x^9} - 9{x^8} + 1 = 8{x^9} - 8 - 9{x^8} + 9\)

\(\begin{array}{l} = 8\left( {{x^9} - 1} \right) - 9\left( {{x^8} - 1} \right)\\ = 8(x - 1)\left( {{x^8} + {x^7} + \ldots + 1} \right) - 9(x - 1)\left( {{x^7} + {x^6} + \ldots + 1} \right)\\ = (x - 1)\left( {8{x^8} - {x^7} - {x^6} - {x^5} - {x^4} - {x^3} - {x^2} - x - 1} \right)\end{array}\)

Ta thấy \(\left( {8{x^8} - {x^7} - {x^6} - {x^5} - {x^4} - {x^3} - {x^2} - x - 1} \right)\) có tổng hệ số bằng 0 nên chia hết cho \(x - 1\) \( \Rightarrow (x - 1)\left( {8{x^8} - {x^7} - {x^6} - {x^5} - {x^4} - {x^3} - {x^2} - x - 1} \right)\) chia hết cho \({(x - 1)^2}\)

c) Đa thức chia \(D(x) = x(x + 1)(2x + 1)\) có ba nghiệm là \(x = 0,x = - 1,x = - \dfrac{1}{2}\)

Ta có:

\(C(0) = {(0 + 1)^{2n}} - {0^{2n}} - 2 \cdot 0 - 1 = 0 \Rightarrow x = 0\) là nghiệm của \(C\left( x \right)\)

\(C( - 1) = {( - 1 + 1)^{2n}} - {( - 1)^{2n}} - 2 \cdot ( - 1) - 1 = 0 \Rightarrow x = - 1\) là nghiệm của \(C\left( x \right)\)

\(C\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = {\left( { - \dfrac{1}{2} + 1} \right)^{2n}} - {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^{2n}} - 2 \cdot \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) - 1 = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{1}{2}{\rm{ }}\)là nghiệm của \(C\left( x \right)\)

Suy ra \(C\left( x \right) \vdots D\left( x \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link