Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, \(SA \bot (ABCD)\)

Câu hỏi số 634735:

Vận dụng

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, \(SA \bot (ABCD)\) và SA = a, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng \({30^0}\) (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC).

A. \(\dfrac{a}{2}\).

B. \(\dfrac{a}{6}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634735

Phương pháp giải

Dùng quan hệ góc giữa \(S C\) và đáy để suy ra cạnh của đáy hình vuông \(s\).
Khoảng cách từ \(A D\) đến \((S B C)\) bằng khoảng cách từ \(A\) đến ( \(S B C\) ).
Dùng công thức \(d=\dfrac{3 V_{S A B C}}{S_{\triangle S B C}}\) để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(s\) là cạnh hình vuông \(A B C D\). Vì \(S A \perp(A B C D)\) và \(S A=a\), nên hình chiếu của \(S\) lên mặt đáy là \(A\).
Góc giữa \(S C\) và mặt đáy bằng \(30^{\circ}\). Do đó
\(\sin 30^{\circ}=\frac{S A}{S C}=\frac{a}{S C}=\frac{1}{2} \Rightarrow S C=2 a .\)
Mặt khác \(S C^2=S C^2=2 s^2+a^2\) (vì trong đáy \(A C\) là đường chéo có độ dài \(\sqrt{2} s\) và \(S C\) là tam giác vuông theo chiều cao), nên
\(2 s^2+a^2=(2 a)^2=4 a^2 \Rightarrow 2 s^2=3 a^2 \Rightarrow s^2=\frac{3}{2} a^2\)
Vì \(A D \| B C\) và \(B C \subset(S B C)\), nên \(A D\) song song với mặt phẳng \((S B C)\).
Do đó khoảng cách từ đường thẳng \(A D\) đến mặt phẳng \((S B C)\) bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((S B C)\).
Có \(V_{S A B C}=\dfrac{1}{3}.S_{\triangle {S B C}}.d(A,(S B C))\).

trong đó \(d(A,(S B C))\) là khoảng cần tìm.
Mặt khác tam giác \(A B C\) cùng với \(A D C\) chia đáy vuông thành hai tam giác bằng nhau nên
\(V_{S . A B C D}=\dfrac{1}{3} s^2 a\)
\(\Rightarrow V_{S A B C}=\dfrac{1}{2} V_{S . A B C D}=\dfrac{1}{6} s^2 a\)
Có chiều cao từ \(S\) xuống \(B C\) là \(S B=\sqrt{s^2+a^2}\). Vậy
\(S_{\triangle S B C}=\dfrac{1}{2} \cdot B C \cdot S B=\dfrac{1}{2} s \sqrt{s^2+a^2}\)
Suy ra \(d(A,(S B C))=\dfrac{3 V_{S A B C}}{S_{\triangle S B C}}=\dfrac{3 \cdot \frac{1}{6} s^2 a}{\frac{1}{2} s \sqrt{s^2+a^2}}=\dfrac{s a}{\sqrt{s^2+a^2}}\)
Thay \(s^2=\dfrac{3}{2} a^2\) vào: \(d=\dfrac{a \sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}+1}}=\dfrac{a \sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\frac{5}{2} }} =\dfrac{a \sqrt{15}}{5}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.